02.03.2017: Grupy i podgrupy

1. Def. Zbiór $H\subseteq G$ jest podgrupą grupy $(G,\cdot)$ jeśli $H\neq \emptyset$ oraz
   1. $(\forall x,y\in H)(x\cdot y \in H)$
   2. $(\forall x\in H)(x^{-1} \in H)$
2. Tw. Niepusty podzbiór $H$ grupy $(G,\cdot)$ jest podgrupą wtedy i tylko wtedy, gdy $$ (\forall x,y\in H)(x\cdot y^{-1} \in H) $$
3. Tw. Jeśli $\mathcal{H}$ jest rodziną podgrup grupy $(G,\cdot)$ to $\bigcap\mathcal{H}$ jest podgrupą grupy $(G,\cdot)$.
4. Def. Podgrupą grupy $(G,\cdot)$ generowaną przez zbiór $X\subseteq X$ nazywamy najmniejszą podgrupę $\GG{X}$ grupy $G$ zawierającą zbiór X. Mamy $$ \GG{X} = \bigcap\{H: \text{ jest podgrupą } G \land X\subseteq H\} $$
5. Jeśli $\rank{a}=k$ to $\GG{a} = \{e,a,a^2,\ldots,a^{k-1}\} \sim C_k$.
6. Jeśli $\rank{a}=\infty$ to $\GG{a} = \{\ldots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\ldots\} \sim (\ZZ,+)$. Izomorfizm: $\phi:\ZZ\to G: k \to a^k$
7. Graf Cayley'a grupy $C_5\times C_2$:
   
8. Grupa symetrii $n$-kąta równobocznego $D_{2n}$: obrót $\alpha$, odbicie $\beta$; równania: $\alpha^n=e$, $\beta^2=e$, $\alpha\beta\alpha\beta=e$; graf Cayley'a grupy $D_{8}$:
   
9. Twierdzenie [Lagrange] Jeśli $H$ jest podgrupą skończonej grupy $G$, to $$ \mathrm{card}(H) \big| \mathrm{card}(G)~. $$ Dowód (szkic). Określamy relację $x\sim y \IFF xy^{-1}\in H$. Pokazujemy, że jest to relacja równoważności na $G$. Pokazujemy, że $[a]_\sim = H \cdot a$ (=$\{ha:h\in H\}$). Następnie pokazujemy, że $|Ha| = |H|$.
   UWAGA: musicie znać ten dowód !!!
10. Wniosek. Jeśli $G$ jest grupą skończoną oraz $a\in G$ to $\rank{a} | \mathrm{card}(G)$
    Dowód (szkic): $|\GG{a}| = \rank{a}$. Następnie stosujemy twierdzenie Lagrange'a.
11. Wniosek (Małe Twierdzenie Fermata) Niech $p$ będzie liczbą pierwszą oraz $1\leq a\lt p$. Wtedy $$ a^{p-1} = 1 \mod p $$ Dowód (szkic): Stosujemy poprzedni wniosek do grupy $\ZZ_p^* =(\{1,2,\ldots,p-1\},\cdot_p)$.

09.03.2017: Funkcja Eulera

1. Def. $\phi(n) = |\{k: 1\leq k\leq n \land \nwd{k}{n}=1\}|$.
2. Tw. Eulera: Jeśli $nwd(x,n)=1$ to $x^{\phi(n)} = 1 \mod n$
3. W1. $\phi(n)=1$
4. W2. Jeśli $p$ jest pierwsza i $k\geq 1$, to $\phi(p^k)=p^k - p^{k-1}$.
5. Chińskie Twierdzenie o Resztach (klasyczna wersja). Jeśli $\nwd{n_1}{n_2} = 1$ oraz $0\leq a_1 \lt n_1$, $0\leq a_2 \lt n_2$ to istnieje x takie, że $0\leq x \lt n_1n_2$ oraz $$ \begin{cases} x \equiv a_1 \mod n_1 \\ x \equiv a_2 \mod n_2 \end{cases} $$ Hint: Znajdujemy $X,Y$ takie, że $n_1 X+ n_2 Y = 1$ i rozważamy liczbę $x = n_1 X a_2 + n_2 Y a_1$.
6. Chińskie Twierdzenie o Resztach (nowoczesna wersja). Jeśli $\nwd{n}{m} = 1$ to $$ Z_{n m} \cong Z_{n} \times Z_{m} $$ Hint: Rozważamy funkcję $f:Z_{n m} \to Z_{n} \times Z_{m}$ określoną wzorem $f(x) = (x \mod n,x \mod m)$.
7. Fakt: Para $(a,b) \in Z_n \times Z_m$ jest odwarcalna w $Z_n \times Z_m$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest odwracalne w $Z_n$ i $b$ jest odwracalny w $Z_m$.
8. Wniosek. Jeśli $\nwd{n}{m} = 1$, to $\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$.
9. Wniosek. $\phi(n) = n \prod_{p|n} (1-\frac1p)$.
10. Definicja. Podgrupa $H$ grupy $G$ jest dzielnikiem normalnym grupy $G$ jeśli $$ (\forall x \in G)(\forall h\in H)(xhx^{-1} \in H) $$
11. Tw. Jeśli $H$ jest dzielnikiem normalnym grupy $G$, to dla każdego $x\in H$ mamy $xH=Hx$.

16.03.2017: Dzielniki normalne. RSA

1. Tw. Jeśli $H$ jest dzielnikiem normalnym grupy $G$ to na klasie warstw możemy okreslić działanie $(Hx)\circ(Hy) = H(x\cdot y)$. Struktura $(G/H,\circ)$ jest grupą.
2. Tw. Jeśli $f:G\to H$ jest homomorfizmem grup, to $ker(h)$ jest dzielnikiem normalnym grupy $G$.
3. Tw. Jeśli $f:G\to H$ jest homomorfizmem grup, to grupa $img(f)$ jest izomorficzna z grupą $G/ker(h)$.
4. Protokół RSA: opis i dowód poprawności
5. Tw. Dla dowolnej liczby naturalnej $n \geq 1$ mamy
   $$ \sum_{d|n} \phi(d) = n~. $$
   Szkic dowodu: $$ \begin{gather*} n = |\{\frac{k}{n}: 1\leq k \leq n\}| = \\ |\sum_{d|k}\{\frac{k}{d}: 1\leq k \leq d \land nwd(k,d)=1\}| = \\ \sum_{d|k}|\{\frac{k}{d}: 1\leq k \leq n \land nwd(k,d)=1\}| = \\ \sum_{d|k}\phi(d) \end{gather*} $$

23.03.2017: Protokół Diffiego-Hellmana

1. Twierdzenie. Jeśli $p$ jest liczbą pierwszą, to $Z_p^*$ jest grupą cykliczną.
   Szkic dowodu. Zakładamy, że jest $a\in Z_p^*$ takie, że $rank(a)= d|(p-1)$ pokazujemy, że $$ (a) = \{x: x^d - 1=0\}, $$ z tego wnioskujemy, że wszystkie elementy rzędu $d$ (jeśli są takie) są w podgupie $(a)$; następnie pokazujemy, że w podgrupie $(a)$ istnieje $\phi(d)$ elementów rzędu $d$; na koniec korzystamy ze wzoru $p-1 = \sum_{d|p-1} \phi(d)$.
2. Problem logarytmu dyskretnego. Dana jest liczba pierwsza $p$, generator $g$ grupy $Z_p^*$ oraz $b \in Z_p^*$: znajdź $x \in Z_p^*$ takie, że $g^x = b$.
3. Protokół Diffiego-Hellmana. Mamy ustaloną duża liczbę pierwszą $p$ oraz generator $g$ grupy $Z_p^*$; Alicja losuje liczbę $x\in Z_p^*$ i wysyła do Boba $g^x$; Bob losuje liczbę $y \in Z_p^*$ i wysyła $g^y$ do Alicji; Alicja oblicza $k=(g^y)^x = g^{xy}$; Bob oblicza $k=(g^x)^y = g^{xy}$; to jest ich wspólny sekret.
4. UWAGA: Polecam przyjrzenie się notatkom David Perkinsona Differential Calculus of Several Variables

30.03.2017: Pierścienie i ideały

1. Pojęcie ideału w pierścieniu przemiennym z jednością
2. Ideał generowany przez element $a\in R$: $(a)= \{ra:r\in R\}$
3. Ideał generowany przez elementy $a,b\in R$: $(a,b) = \{ra + sb:r,s \in R\}$
4. Konstrukcja pierścienia ilorazowego: I - ideał w R:
   • $(a \sim_I b) \equiv a-b \in I$
   • $R/I = \{[a]_I : a \in R\}$
   • $[a]_I + [b]_I = [a+b]_I$
   • $[a]_I * [b]_I = [a*b]_I$
5. Przykład: $\RR[x]/(x) \cong \RR$
6. PRZYKŁAD
   $$\RR[x]/(x^2+1) \cong \CC$$
   Przykłąd: $\ZZ_2[x]/(1+x+x^2)$ jest cztero elementowym ciałem
7. Tw. Jeśli $f:R_1 \to R_2$ jest homomorfizmem pierścieni, to $ker(f)$ jest ideałem pierścienia $R_1$
8. Tw. Jeśli $f:R_1 \to R_2$ jest epimorfizmem pierścieni, to $R_1/ker(f) \cong R_2$
9. Tw. Niech $I$ będzie ideałem pierścienia $R$. Niech $Q(a) = [a]_I$.
   1. Jeśli $I\subseteq J \subseteq R$ jest ideałem, to $Q[J]$ jest ideałem w $R/I$ oraz $Q^{-1}[Q[J]]=J$
   2. Jeśli $H\subseteq R/I$ jest ideałem, to $Q^{-1}[H]$ jest ideałem w $R$ oraz $Q[Q^{-1}[H]]=H$

06.04.2017: Ideały

1. Def.Jednostki pierścienia R: U(R) = zbiór elementów odwracalnych pierścienia R.
   Przykłady: $U(\ZZ) = \{-1,1\}$, $U(\ZZ[i]) = \{1,-1,i,-i\}$
2. Podzielność w dowolnym pierścieniu: $a|b \IFF (\exists q)(a\cdot q = b)$
3. Elementy stowarzyszone: $(a\sim b) \IFF ((a|b)\land (b|a))$
4. Tw. W dziedzinie całkowitości mamy: $(a\sim b) \IFF (\exists u\in U(R)(a=u\cdot b)$
5. Jeśli $R$ jest pierścieniem z jednością, to ideał $I$ jest właściwy wtedy i tylko wtedy, gdy $1 \notin I$.
6. Def. I jest ideałem maksymalnym jeśli $I\neq R$ oraz jeśli $J$ jest takim ideałem, że $I\subseteq J$ oraz $J\neq I$ to $J=R$
7. Twierdzenie. Jeśli $R$ jest pierścieniem z jednością oraz $I$ jest ideałem właściwym, to istnieje ideał maksymalny $J$ taki, że $I\subseteq J$
   Dowód. Dosyć proste zastosowanie Lematu Kuratowskiego-Zorna do rodziny $$ X = \{J:I\subseteq J \land J \textrm{ jest ideałem } \land 1\notin I \} $$ uporządkowanej przez inkluzję.
8. Tw. Jeśli $R$ jest pierścieniem z jednością ($1\neq 0$) oraz $I$ jesi ideałem w $R$, to $R/I$ jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy $I$ jest ideałem maksymalnym.
9. Def. Element $p$ jest pierwszy, jeśli $(\forall a,b)(p|(a\cdot b) \to ((p|a)\lor(p|b))$
10. Def. Ideał $I$ jest pierwszy, jeśli $(\forall a,b)(a\cdot b\in I \to ((a\in I) \lor (b\in I))$
11. Tw. Element $p$ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy ideał $(p)$ jest pierwszy

Wskazówka do zadania o funkcji $\phi(n)$: zauważmy najpierw, że jeśli $n\gt 2$ to $2|\phi(n)$; załóż następnie $\phi(n)|n$ i rozważ najmniejszą liczbę pierwszą większą od 3, która dzieli $n$ (wygodnie jest rozważyć napierw liczby $n$, które nie są podzielne przez $3$, a potem te które dzielą się przez $3$).

20.04.2017: Dziedziny Ideałów Głównych

1. Definicja Dziedzina euklidesowa (ED): dziedzina całkowitości z funkcją $v:R\to\NN$ (normą) taką, że
   1. $v(x)=0 \equiv x=0$
   2. Dla dowolnych $a,b\in R$ takich, że $b\neq 0$ istnieją $q, r \in R$ takie, że $a= q\cdot q+r$ oraz $v(r)\lt v(b)$.
2. Definicja Dziedzina $R$ jest dziedziną ideałów głównych (PID) jeśli każdy ideał w $R$ jest główny
3. Twierdzenie. $ED \subseteq PID$
4. Przykład. W pierścieniu $\ZZ[x]$ ideał $(2,x)$ nie jest ideałem głównym.
5. Twierdzenie. Jeśli $R$ jest PID oraz $I_0\subseteq I_1 \subseteq I_2 \subseteq \ldots$ są ideałami, to istnieje $n$ takie, że $(\forall k\geq n)(I_k = I_n)$.
6. Definicja Element $p$ jest nierozkładalny jeśli dla dowolnych $a$, $b$ takich, że $p=a\cdot b$ mamy $a\in U(R)$ lub $b \in U(R)$.
7. Twierdzenie. Elementy pierwsze są nierozkładalne
8. Twierdzenie. W PID elementy nierozkładalne sa pierwsze.
9. Przykład: W pierścieniu $\ZZ[\sqrt{-3}]$ liczba $2$ jest nierozkładalna ale nie jest pierwsza: $2|(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})$.
10. PRZYKŁAD (Twierdzenie Fermata): Liczba pierwsza $p\gt 2$ jest postaci $4k+1$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby całkowite $a$ i $b$, że $p = a^2+b^2$.
    Szkic dowodu: (1)→(2).Napierw pokazujemy, że w $Z_p^*$ jest taki element $a$, że $rank(a)=4$; pokazujemy, że $a^2=-1$; z czego wnioskujemy, że $p|(a^2+1)$. Przechodzimy teraz do pierścienia liczb Gaussa. Pokazujemy, że $p|(a+i)(a-i)$ oraz, że $\neg(p|(a+i))$ oraz $\neg(p|(a-i))$. Z tego wnioskujemy, że $p$ nie jest elementem pierwszym w $\ZZ[i]$. Zatem nie jest elementem nierozkładalnym. Bierzemy $u,v \in \ZZ[i]$ które nie są jednostkami oraz takie, że $p=u\cdot v$. Wtedy $p^2 = |u|^2|v|^2$. Pokazujemy, że $p=|u|^2$. Co kończy dowód.

27.04.2017: UFD

1. Definicja Pieścień $R$ ma własność jednoznaczności rozkładu jeśli każdy jego element można zapisać jednoznacznie, z dokładnością do permutacji składników i równoważności, jako iloczyn elementów nierozkładalnych.
2. Twierdzenie PID $\subseteq$ UFD.
3. Definicja. Ciało $K$ ma charakterystykę $0$ jeśli $n\cdot 1_k \neq 0_K$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$.
   Ciało $K$ ma charakterystykę $d\geq 2$ jeśli $d$ jest najmniejszą liczbą naturalną $k\geq 2$ taką, że $k\cdot 1_K = 0_K$
4. Twierdzenie. Jeśli ciało $K$ ma charakterystykę $d\geq 2$ to $d$ jest liczbą pierwszą.
5. Twierdzenie. Jeśli ciało $K$ ma charakterystykę $p\geq 2$ to $Z_p$ można zanurzyć izomorficznie w ciało $K$.
6. Twierdzenie. Jeśli ciało $K$ ma charakterystykę $0$, to w ciało $K$ można zanurzyć liczby wymierne.
7. Twierdzenie. Jeśli ciało skończone $K$ ma charakterystykę $p\geq 2$ to $|K| = p^n$ dla pewnego $n$
8. Twierdzenie (bez dowodu). Jeśli ciała skończone $K_1$ i $K_2$ mają tyle samo elementów, to są izomorficzne.

04.05.2017: Elementy Teorii Kodowania

1. Definicja. Kod nad alfabetem $\Sigma$: podzbiór $\Sigma^*$
2. Definicja. Kod blokowy nad $\Sigma$ długości $n$: podzbiór $\Sigma^n$
3. Odległość Hamminga na $\Sigma^n$: $d_H(x,y) = |\{i: x_i \neq y_i\}|$
4. Definicja. Rozstęp kodu: $\Delta(\mathcal{C}) = \min\{d_H(x,y): x,y\in \mathcal{C} \land x \neq y\}$
5. Definicja. Kod $\mathcal{C}$ jest $(n,M,d)_q$ kodem, jeśli $\mathcal{C} \subseteq \Sigma^n$, $|\Sigma| = q$, $M=|\mathcal{C}|$, oraz $\Delta(\mathcal{C})= d$
6. Definicja. $B(x,r) = \{y\Sigma^n: d_H(x,y)\leq r\}$
7. Twierdzenie: Jeśli $\Delta(\mathcal{C}) \geq d$, to kod $\mathcal{C}$ potrafi wykrywać do $d-1$ błędów.
8. Twierdzenie: Jeśli $\Delta(\mathcal{C}) \geq d$, to kod $\mathcal{C}$ potrafi korygować do $\left\lfloor \frac{d-1}{2}\right\lfloor$ błędów.
9. Twierdzenie (Singleton Bound). Jeśli istnieje $(n,M,d)_q$ - kod to $M\leq q^{n-d+1}$
10. Lemat: $|B(x,r)| = \sum_{k=0}^{r} \binom{n}{k} (q-1)^k$
11. Twierdzenie (Hamming Bound; sphere packing bound). Jeśli istnieje $(n,M,d)_q$ - kod oraz $2k+1\leq d$ to $$ M \cdot \left(\sum_{i=0}^{k}\binom{n}{i}(q-1)^i\right) \leq q^n $$ Szkic dowodu: Jeśli $\mathcal{C}$ jest $(n,M,2k+1)$ kodem, to kulki $\{B(x,k):x\in\mathcal{C}\}$ są parami rozłączne.
12. Konstrukcja płaszczyzny rzutowej $PG(2,2)$ nad ciałem 2-elementowym (płaszczyzna Fano):
    

18.05.2017: Kody korekcyjne

1. Konstrukcja $(7,16,3)_2$ kodu binarnego z płaszczyzny rzutowej $PG(2,2)$:
   1. pierwsza częśc kodu: macierz koincydencji $PG(2,2)$
   2. druga część kodu: dopełenienia elementów pierwszej części
   3. końcówka: dodajemy dwa ciągi: $0000000$ oraz $1111111$
   Fakt: $(7,16,3)_2$ kod jest kodem doskonałym.
2. Ograniczenie $$B_n(0,\lambda n) \leq 2^{n H(\lambda)}$$ dla $\lambda \in (0,\frac12)$, gdzie $$ H(x) = x \log_2(\frac1x) + (1-x)\log_2(\frac{1}{1-x}) $$ (funkcja entropii binarnej).
3. Wzór Stirlinga: $n! = \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n(1+O(\frac1n))$
4. Kod ISBN: $\mathcal{C} = \{x\in (\ZZ_{11})^{10}: \sum_{i=1}^{10} i\cdot x_i = 0 (\mod 11)\}$
5. Fakt: Funkcja $f:(\ZZ_{11})^{10} \to \ZZ_{11}$ określona wzorem $f(x) = \sum_{i=1}^{10}i x_i$ jest odwzorowaniem liniowym oraz $\mathcal{C} = ker(f)$.
6. Obserwacja: $\mathcal{C}$ jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wektorowej $(\ZZ_{11})^{10}$ wymiaru 9

18.05.2017: Kody liniowe

1. Pojęcie równoważności kodów
2. Kod liniowy nad ciałem $|F|=q$ : podprzestrzeń liniowa przestrzeni liniowej nad ciałem $F$
3. Oznaczenie $\mathcal{C}$ jest $[n,k]_q$ kodem liniowym jeśli $|F|=q$ oraz $\mathcal{C}$ jest $k$ wymiarową podprzestrzenią przestrzeni $F^n$
4. Macierz kodu: macierz której wierszami jest baza kodu
5. Kodowanie: $E(x) = x \cdot G$
6. Def. waga wektora: $w(x) = |\{i: x_i\neq 0\}|$
7. Twierdzenie: $\Delta(\mathcal{C}) = \min\{w(x): x \in \mathcal{C}\setminus \{0\}\}$
8. Macierz standardowa kodu: macierz postaci $G = [I_k|B]$
9. Każdy kod liniowy ma macierz standardową
10. Macierz standardowa: macierz której wierszmi są warstwy kodu, w pierwszj kolumnie jest element o najmniejszej wadze z danej warstwy; ozostałe elementy wiersza są przesunięciami elementów kodu (umieszczonego w pierwszym wierszu) o element z pierwszej kolumny.
11. Metoda odczytywania zakodowanej informacji za pomocą macierzy standardowej kodu.
12. Kod dualny do kodu $\mathcal{C}$: $$ \mathcal{C}^{\perp} = \{x \in F^n: (\forall y\in\mathcal{C})(\IS{x}{y} = 0)\} $$
13. Twierdzenie. $\mathcal{C}^{\perp} = ker(F)$, gdzie $F(x) = G\cdot x^T$.

01.06.2017: Kody liniowe - II

1. Tw. Jeśli $\mathcal{C}$ jest $[n,k]$ kodem, to $\mathcal{C}^{\perp}$ jest $[n,n-k]$ kodem liniowym.
   Dowód (szkic): Przyglądamy się odwzorowaniu $h:K^n \to K^k$ określonym wzorem $h(x) = G\cdot x^T$. Zaczymany od zauważenie, że $h$ jest odwzorowaniem liniowym oraz, że $ker(h) = \mathcal{C}^{\perp}$.
2. Tw. Jeśli wymiary macierzy $A,B,C,D$ się zgadzaję, to $$ \begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}C\\D\end{bmatrix} = A\cdot C + B\cdot D~. $$
3. Wniosek: Jeśli $A \in M_{k,n-k}(K)$, to $$ \begin{bmatrix}I_k&A\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}-A\\I_{n-k}\end{bmatrix} = 0~. $$
4. Wniosek. Jeśli $G = [I_k|A]$ jest macierzą generującą $[n,k]$ kodu $\mathcal{C}$ to macierz generująca kodu $\mathcal{C}^{\perp}$ ma postać $$ H = [-A^T | I_{n-k}] $$ Nazywamy ją macierzą kontroli parzystości kodu $\mathcal{C}$.
5. Przykład: Jeśli $G = \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}$, to $H = \begin{bmatrix}1&1&1\end{bmatrix}$
6. Tabela syndromów macierzy standardowej kodu i wykorzystanie jej do odkodowywania sygnału.
7. Tw. Niech $H$ będzie macierzą kontroli parzystości kodu $\mathcal{C}$. Wtedy $$ \Delta(\mathcal{C}) = \min\{d: H \text{ ma } d \text{ kolumn liniowo zależnych}\} $$

08.06.2017: Przykłady kodów liniowych

1. Kody Hamminga $H_n$: macierz kontroli parzystości tworzymy z niezerowych wektorów $\{0,1\}^n$.
   1. Kody Hamminga są $[2^n, 2^n-n+1,3]$ kodami
   2. Kody Hamminga są doskonałe.
2. Kody Haddamara $Had_n$: macierz generująca tworzymy ze wszystich wektorów $\{0,1\}^n$.
   1. Tw. Jeśli $x\neq 0$ oraz $f_x(y) = \sum_i x_i y_i$ (liczymy w $\ZZ_2$) to $|ker(f_x)| = 2^{n-1}$
   2. Kody Hamminga są $[2^n, n,2^{n-1}]$ kodami
3. Kody Reeda - Solomona
   1. Ustalamy ciało skończone $K$, liczbę $k$ oraz parami różne $a_1, \ldots, a_n \in K$. Dla $x \in K^k$ definiujemy wielomian $f_x(y) = \sum_{i=0}^{k-1} x_i y^k$ (uwaga $f_x \in K[y]$) oraz definujemy funkcję kodującą $$ C(x)=(f_x(a_1), f_x(a_2), \ldots, f_x(a_n))~. $$
   2. To jest kod linowy. Macierz generująca $((a_i)^j)_{i=1\ldots,n;j=0,\ldots,k-1}$
   3. Tw (o wyznaczniku Vandermonda): $$\det(((a_i)^j)_{i=1,\ldots,n;j=0,\ldots,n-1} = \prod_{i\gt j}(a_i-a_j)$$
   4. RS kody są $[n,k,n-k+1]$ kodami

22.06.2017: Działanie grup na zbiorach