02.03.2017: Przestrzeń $\RR^n$

1. Przestrzeń $\RR^n$ jest przestrzenią wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych $\RR$
2. Def. Iloczyn skalarny na przestrzeni wektorowej nad $\RR$: taka funkcja $IS:V\times V \to \RR$, że
   1. $IS(x,x) \geq 0$
   2. $IS(x,x) = 0 \IFF x=0$
   3. $IS(\alpha x+\beta y,z) = \alpha IS(x,z)+\beta IS(y,z)$
   4. $IS(x, y) = IS(y,x)$
   dla dowolnych $x,y,z\in V$ oraz $\alpha,\beta \in \RR$.
3. Przykłady iloczynów skalarnych na $\RR^n$: $IS(x,y) = \sum_i x_i y_i$, $IS(x,y) = \sum_i a_i x_i y_i$, gdzie $a_1,\ldots a_n>0$
4. Iloczyn skalarny na $C([0,1])$: $\IS{f}{g} = \int_0^1 f(t)g(t) dt$
5. Tw (Cauchy). Jeśli $IS$ jest iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej $V$, to dla dowolnych $x,y\in V$ mamy $$ |IS(x,y)| \leq N(x)\cdot N(y)~, $$ gdzie $N(x) = \sqrt{IS(x,x)}$.
6. Def. Norma na przestrzeni wektorowej nad $\RR$: taka funkcja $||*||:V\to \RR$, że
   1. $||x|| \geq 0$
   2. $||x|| = 0 \IFF x=0$
   3. $||x+y|| \leq ||x||+||y||$
   4. $||\alpha x|| = |\alpha| \cdot ||x||$
   dla dowolnych $x,y\in V$ oraz $\alpha \in \RR$.
7. Wniosek: Jeśli $\IS{\cdot}{\cdot}$ jest iloczynem skalarnym na $V$ to funkcja $||x|| = \sqrt{\IS{x}{x}}$ jest norma na przestrzeni $V$.
8. Przykłady norm na $\RR^n$:
   1. $||x||_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|$
   2. $||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_1^2}$ (standardowa norma, utworzona ze standardowego iloczynu skalarnego)
   3. $||x||_\infty = \max\{|x_i|: i =1,\ldots, n\}$
9. Jedno z zadań polega na pokazaniu, że normy $||\cdot||_1$ oraz $||\cdot||_\infty$ nie pochodzą od żadnego iloczynu skalarnego.
10. Def. Parę $(X,d)$ nazywamy przestrzenią metryczną jeśli $X\neq\emptyset$, $d:X\times X \to [0,\infty)$ oraz
    1. $d(x,y)=0 \IFF x=y$
    2. $d(x,y)=d(y,x)$
    3. $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$
    dla dowolnych $x,y,z \in X$.
11. Tw. Jeśli $||\cdot||$ jest norma na przestrzeni $V$ to funkcja $$ d(x,y) = ||x-y|| $$ jest odległością na przestrzeni $V$ (czyli $(V,d)$ jest przestrzenią metryczną)
12. Przykład: Odległość euklidesowa na $\RR^n$: $$ d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2} $$
13. Def. Niech $(X,d)$ będzie przestrzenią metryczną. Niech $(a_n)_{n\in\NN}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni $X$. Niech $g\in X$. Wtedy $$ \lim_{n\to\infty} a_n = g \IFF (\forall \varepsilon \gt 0)(\exists N)(\forall n \gt N)(d(a_n,g)\lt \varepsilon) $$
14. Rozważamy $\RR^k$ z metryką euklidesową. Bierzemy ciąg punktów $a_n$ z $\RR^n$ oraz $g\in\RR^k$. Niech $\pi_i((x_1,\ldots,x_n)) = x_i$. Wtedy $$ \lim a_n = g \IFF (\forall i\in\{1,\ldots k\}) \left( \lim_n \pi_i(a_n) = \pi_i(g)\right) $$
15. Przykład (w $\RR^3$ z metryką euklidesową): $$ \lim_n \left(\frac{n}{n+1}, \left(1+\frac1n\right)^n, \sqrt[n]{n}\right) = (1,e,1) $$

09.03.2017: Przestrzeń euklidesowa

1. Obserwacja: jeśli $(X,d)$ jest przestrzenią metryczną oraz $\emptyset \neq Y \subseteq X$, to $(Y,d|Y\times Y)$ jest również przestrzenią metryczną.
2. Def. Wnętrze zbioru: $int(A) = \{x\in X: (\exists \varepsilon>0)(K(x,\varepsilon)\subseteq A\}$
3. Def. Domknięcie zbioru: $cl(A) = \{x\in X: (\forall \varepsilon>0)(K(x,\varepsilon)\cap A \neq \emptyset\}$
4. Def. Brzeg zbioru: $br(A) = cl(A) \cap cl(X\setminus A)$
5. Przykład: $br((0,1]) = \{0,1\}$
6. Przykład: $br(K((0,0),r)) = \{(x,y)\in\RR^2: x^2+y^2 = R\}$.
7. Def. Zbiór A jest otwarty, jeśli $int(A)=A$
8. Fakt: $A$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $(\forall a\in A)(\exists \varepsilon>0)(K(a,\varepsilon)\subseteq A)$
9. Def. Zbiór A jest domknięty, jeśli $cl(A)=A$
10. Tw. Zbiór A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego zbieżnego ciągu $(a_n)$ elementów zbioru $A$ mamy $\lim_n a_n \in A$.
11. Def. Zbiór A jest zwarty, jeśli z każdego ciągu elementów zbioru $A$ można wybrać pociąg zmieżny do elementu $A$
12. Tw. Podzbiór $A\subseteq \RR^n$ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdzy jest ogramiczony i domknięty..
    Uwaga: to jest uogólnienie twierdzenie Weierstrassa.
13. Def. Niech $(X,d)$ i $(Y,\rho)$ będą przestrzeniami metrycznymi, $f:X\to Y$, $a \in X$, $g\in Y$. Wtedy $\lim_{x\to a} f(x) = g$ jeśli dla każdego ciągu $(a_n)$ elementów X zbieżnego do a mamy $\lim_n f(a_n) = g$.
14. Def. Niech $(X,d)$ i $(Y,\rho)$ będą przestrzeniami metrycznymi, $f:X\to Y$, $a \in X$. Funkcja $f$ jest ciągła w punkcie $a$, jeśli $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$.
15. Wykresy funkcji z $\RR^2$ w $\RR$: $f(x,y)=\sin(x+y)$ oraz $g(x,y) = x^2+y^2$:
    

16.03.2017: Ciągłość i różniczkowanie

1. Tw. Niech $A\subseteq \RR^n \to \RR^m$, $a\in A$ oraz $F(x) = (F_1(x),\ldots, F_m(x))$. Funkcja $F$ jest ciągła w $a$ wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje $F_1,\ldots, F_m$ są ciągłe w $a$
2. Funkcje $f(x,y)=x+y$, $g(x,y) = x\cdot y$, $h(x,y) = x/y$ są ciągłe
3. Tw. Jeśli $F:X_1\to X_2$ jest ciągła w $a$ i $G:X_2\to X_3$ jest ciągła w punkcie $F(a)$ to funkcje $G\circ F:X_1\to X_3$ jest ciągła w $a$
4. Wykresy 3D oraz wykres konturowy funkcji $f(x,y)=x^2-y^2$:
   
5. Def. Niech $U \subseteq \RR^n$ będzie zbiorem otwartym oraz $F:U\to \RR^m$. Pochodną funkcji $F$ w punkcie $a\in U$ nazywamy odwzorowanie liniowe $DF_a:\RR^n\to\RR^M$ takie, że
   $$ \lim_{h\to 0}\frac{||F(a+h)-(F(a)+DF_a(h))||}{||h||} = 0~. $$
6. Definicja. Niech $f:\RR^n \to \RR$ i $a\in\RR^n$. Wtedy
   $$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \frac{d f_i}{dx}(a_i) $$
   gdzie $f_i(x) = f(a + x\cdot e_i)$
7. Tw. Niech $f:\RR^n \to \RR$ i $a\in\RR^n$. Załóżmy, że $f$ jest różniczkowalna w punkcie $a$. Wtedy
   $$ Df_a(h) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\cdot h_i $$
8. Wniosek
   $$ Df_a = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\cdot dx^i $$
   gdzie $dx_i(x_1,\ldots,x_i) = x_i$ (rzutowanie na i-tą współrzędną)

23.03.2017: Ciągłość i różniczkowanie

1. Tw. Różniczkowalność implikuje ciągłość
2. Przykład funkcji mającej pochodne cząstkowe w $(0,0)$, która nie jest ciągła w punkcie $(0,0)$: $f(x,y) = (xy)/(x^2+y^2)$ dla $(x,y) \neq (0,0)$ oraz $f(0,0)=0$.
3. Twierdzenie: Jeśli $f:\RR^n \to \RR$ ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu punktu $a$, to jest różniczkowalna w punkcie $a$.
4. Definicja. Niech $F = (F_1,\ldots,F_n):\RR^m \to \RR^n$ będzie różniczkowalna w punkcie $a$. Macierzą Jacobiego funkcji $F$ w punkcie $a$ nazywamy macierz
   $$ F'(a) = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x_1}&\ldots&\frac{\partial F_1}{\partial x_m}\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial F_n}{\partial x_1}&\ldots&\frac{\partial F_n}{\partial x_m} \end{bmatrix} $$
5. Wykresy funkcji $c(t) =(\cos(t),\sin(t), t/\pi)^T$ ($t\in[0,4\pi]$):
   
   $c'(t) = (-\sin(t),\cos(t),1/\pi)^T$.
6. Tw. $DF_a(h) = F'(a)\circ h^T$ (znak $\circ$ oznacza tu mnożenie macierzy przez wektor).
7. Tw. $D (F\circ G)_a = DF_{G(a)} \circ DG_a$.
   Uwaga: Na wykładzie podałem tylko szkic dowodu tego twierdzenia. Pełen dowód, z podobnymi do naszych oznaczeniami, można znaleźć np. na stronie Davida Perkinsona.
8. Wniosek. $(F\circ G)(a) = F'(G(a)) \circ G'(a)$
9. Przykład: Niech $c(t) = (c_1(t),\ldots,c_n(t))$. $$ \frac{d}{dt}F(c_1(t),\ldots,c_n(t)) = \frac{\partial F}{\partial x_1}(c(t))\cdot c_1'(t) + \ldots + \frac{\partial F}{\partial x_n}(c(t))\cdot c_n'(t) $$

30.03.2017: Pochodne cząstkowe

1. Przykład (ruch jednostajny): $f(t) = a + v t$ ($a,v \in \RR^n$). Wtedy $f'(t) = v$ (prędkość) oraz $f''(t) = 0$ (przyśpieszenie)
2. Przykład (ruch po okręgu): $f(t) = r(\cos(\omega t),\sin(\omega t))$. Wtedy
   1. $f'(t) = r\omega(-\sin(\omega t), \cos(\omega t))$
   2. $||f'(t)|| = r\omega$
   3. $\IS{f'(t)}{f(t)} = 0$
   4. $f''(t) = -r\omega^2 (\cos(\omega t),\sin(\omega t)) = - \omega^2 f(t)$
3. Def. Zbiór $A\subseteq \RR^n$ jest łukowo spójny, jeśli dla dowolnych $a,b\in A$ istnieje funkcja ciągła $f:[0,1]\to A$ taka, że $f(0)=a$ i $f(1)=b$
4. Def. Pochodna kierunkowa: $f'_v(a) = \lim_{t\to 0} \frac{f(a+tv)-f(a)}{t}$
5. Tw. $f'_v(a) = \IS{\nabla_a f}{h}$
6. Def. Funkcja $f:\RR^n\to \RR$ ma właściwe minimum (maksimum) lokalne w punkcie $a\in\RR^n$ jeśli istnieje $\epsilon>0$ takie, że dla każdego $x\in K(a,\epsilon)\setminus\{a\}$ mamy $f(x)\gt f(a)$ ($f(x)\lt f(a)$).
7. Wniosek. Jeśli $f:\RR^n\to\RR$ ma ekstremum lokalne w punkcie $a$ i jest różniczkowalna w punkcie $a$ to $(\forall i)(\frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = 0)$.
8. Twierdzenie (na razie bez dowodu): Jeśli $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ oraz $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ są ciągłe, to $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$
9. Wzór Taylora: Niech $\nabla = \{h_1 \frac{\partial}{\partial x_1} + \ldots + h_n \frac{\partial}{\partial x_n}\}$. Wtedy
   $$ f(a+h)= f(a) + \nabla_a f + \frac{1}{2!}(\nabla_a)^2 f + \frac{1}{3!}(\nabla_{a+\theta h})^3 f $$

06.04.2017: Ekstrema lokalne funkcji

1. Tw. Funkcja $f:\RR^2 \to \RR$ ma lokalne minimum w punkcie $a$ jeśli $\nabla_a(f)=0$, $\partial^2 f/\partial^2 x(a)\gt 0$ oraz $(\partial^2 f/\partial^2 x(a))\cdot(\partial^2 f/\partial^2 y(a)) - ((\partial^2 f/\partial x \partial y(a)) \gt 0$
2. Def. Hesjan funkcji $$ H_a(f) = \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\right]_{1\leq i,j\leq n}~. $$
3. Twierdzenie: Załóżmy, że $\nabla_a(f)=0$. Niech $H_k \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\right]_{1\leq i,j\leq k}$. Jeśli $$ (\forall 1\leq k \leq n)(\det(H_k)\gt 0) $$ to funkcja $f$ ma minimum lokalne w punkcie $a$.
4. Wniosek: Załóżmy, że $\nabla_a(f)=0$. Niech $H_k \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)\right]_{1\leq i,j\leq k}$. Jeśli $$ (\forall 1\leq k \leq n)((-1)^k\det(H_k)\gt 0) $$ to funkcja $f$ ma maksimum lokalne w punkcie $a$.
5. Tw. Jeśli $A$ jest zwarty i $f:A\to \RR$ jest ciągła, to obraz $F(A)$ jest zbiorem zwartym.
6. Wniosek. Jeśli $A$ jest zwartym podzbiorem $\RR^n$ i $f:A\to \RR$ jest ciągła, to istnieją punkty $a,b\in A$ takie, że $f(a) = \sup\{f(x):x\in A\}$ oraz $f(b) = \inf\{f(x):x\in A\}$.

20.04.2017: Twierdzenie o funkcji odwrotnej

1. Twierdzenie o Funkcji Odwrotnej Niech $U\subseteq\RR^n$ bedzie zbiorem otwartym oraz niech $F:U\to\RR^n$ będzie funkcją klasy $C^1$. Niech $a\in U$ oraz $b=F(a)$. Załóżmy, że $det(F'(a))\neq 0$. Istnieją wtedy zbiory otwarte $U_1\subseteq U$ i $V_1\subseteq \RR^n$ takie, że
   1. $a\in U_1$ i $b\in V_1$
   2. $F[U_1] =V_1$, $F$ jest 1-1 na $U_1$
   3. funkcja $F^{-1}:V_1 \to U_1$ jest klasy $C^1$
2. Wniosek: Przy oznaczeniach i założeniach poprzedniego twierdzenia: $(F^{-1})'(b) = (F'(a))^{-1}$
3. Przykład: Funkcja $f(x,y) = (e^x\cos(x),e^x\sin(x)$ jest lokalnie odwracalna, ale nie jest odwracalna.
4. Twierdzenie o Funkcji Uwikłanej Niech $F:\RR^2\to\RR$ będzie funkcją klasy $C^1$. Załóżmy, że $F(a,b)=0$ oraz, że $(\partial F/\partial y)(a,b)\neq 0$. Istnieje wtedy $\varepsilon>0$ oraz funkcja $\phi$ klasy $C^1$ o dziedzinie $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ taka, że $\phi(a)=b$ oraz $$ (\forall t \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon))(F(t,\phi(t))=0)~. $$ Szkic dowodu: Definiujemy funkcję $f(x,y) = (x,F(x,y))$. Zaczynamy od pokazania, że możemy zastosować do niej Twierdzenie o Funkcji Odwrotnej.
5. Wniosek: Przy oznaczeniach i założeniach poprzedniego twierdzenia: $$ \phi'(a) = - \frac{\frac{\partial F}{\partial x}(a,b)} {\frac{\partial F}{\partial y}(a,b)} ~. $$
6. Przykład. Styczna do elipsy o równaniu $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1$ w punkcie $(x_0,y_0)$ ma równanie $$ \frac{x\cdot x_0}{a^2}+\frac{y \cdot y_0}{b^2} = 1 ~. $$

24.04.2017: Wnioski z Twierdzenia o Funkcji Odwrotnej

1. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym Niech $U \subseteq \RR^n$ będzie zbiorem otwartym. Załóżmy, że $f:U\to\RR^k$ jest odwzorowaniem klasy $C^1$ takim, że dla każdego $x\in U$ rząd macierzy Jakobiego $f'(x)$ jest równy $k$. Wtedy $f[U]$ jest zbiorem otwartym.
2. Twierdzenie Lagrange'a Niech $U \subseteq \RR^n$ będzie zbiorem otwartym. Załóżmy, że $f,g_1,\ldots,g_k:U\to\RR$ są odwzorowaniami otwartymi klasy $C^1$. Niech $$ \Omega = \{x\in U: g_1(x) = g_2(x) = \ldots = g_k(x) = 0\}~. $$ Założmy, że funkcja $f$ ma estremum lokalne w punkcie $a\in U$ na zbiorze $U$. Załóżmy również, że wektory $\{\nabla_a g_1,\ldots,\nabla_a g_k\}$ są liniowo niezależne. Wtedy istnieją liczby $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$ takie, że $$ \nabla_a f = \sum_{i=1}^{k} \lambda_j \nabla_a g_i~. $$
3. Metoda mnożników Lagrange'a. Przykład: Szukamy maksimum funkcji $f(x_1,\ldots,x_n)$ na zbiorze $\{x\in\RR^n: x_1+\ldots+x_n=C\}$. Za funkcję $g$ bierzemy $g(x_1,\ldots,x_n) = x_1+x_2+\ldots+x_n - 1$ i rozważamy funkcję $$ \Phi(x) = f(x) - \lambda \cdot g(x)~. $$ Rozwiązujemy układ równań $\frac{\partial \Phi}{\partial x_i} = 0$ ($i = 1,\ldots,n$).

04.05.2017: Całkowanie - I

1. Def: Prostopadłościan: zbiór postaci $P = [a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$
2. Def. Objętość prostopadłościanu: $vol(P) = \prod_{i=1}^{n}|a_i-b_i|$
3. Def. Rozbicie prostopadłościanu P: $\{I_1\times\cdots\times I_n:I_1\in\pi_1, \ldots, I_n\in\pi_n\}$, gdzie $\pi_i$ są rozbiciami odcinka $[a_i,b_i]$
4. Def. Sumy dolne i górne:
   $s(f,\pi) = \sum_{J\in\pi} \inf_J(f) vol(J)$
   $S(f,\pi) = \sum_{J\in\pi} \sup_J(f) vol(J)$
5. Suma dolna funkcji $f(x,y)= x\cdot y$ na prostopadłościanie (kwadracie) $[0,1]^2$ dla podziału na 5 części na każdej osi:
   
6. Def. Całka dolne i górna:
   $l-\int_P f = \sup \{s(f,\pi):\pi$ jest rozbiciem $P \}$
   $u-\int_P f = \inf \{S(f,\pi):\pi$ jest rozbiciem $P \}$
7. Def: Funkcja ograniczona $f:P\to\RR$ jest całkowalana w sensie Riemana jeśli $l-\int_P f = u-\int_P f$; liczbę te nazywamy całką z funkcji $f$ na prostopadłościanie $P$ i oznaczamy ją $\int_P f$.
8. Def. Funkcja $F:A\to\RR$ jest jednostajnie ciągła jeśli $$ (\forall \epsilon\gt 0)(\exists \delta \gt 0)(\forall x,y\in A)(d(x,y) \lt \delta \to |f(x)-f(y)| \lt \epsilon) $$
9. Twierdzenie. Jeśli $A$ jest zbiorem zwartym i $f:A\to\RR$ jest ciągła, to $f$ jest jednostajnie ciągła.
10. Wniosek: Funkcje ciągłe na prostopadłościanie są na nim całkowalne.
11. TWIERDZENIE FUBBINIEGO Niech $P \subseteq \RR^n$ i $Q\subseteq \RR^m$ będą prostopadłościanami. Niech $f:P\times Q\to \RR$ będzie ciągła. Wtedy
    $$ \int_{P\times Q} f = \int_P \left(\int_Q f(\vec{x},\vec{y}) d\vec{y}\right) d\vec{x} $$
12. Def. Zbiór $A\subseteq \RR^n$ jest zbiorem miary zero jeśli dla każdego $\epsilon \gt 0$ istnieje rodzina prostopadłościanów $(P_n)_n$ taka, że $A \subseteq \sum_n P_n$ oraz $\sum_n vol(P_n) \lt \epsilon)$.
13. Przykład: Niech $f:[a,b]\to\RR$ będzie ciągła. Wtedy zbiór $C=\{(x,f(x)):x\in[a,b]\}$ jest zbiorem miary zero.
14. Twierdzenie (bez dowodu). Funkcja ograniczona $f:P\to \RR$ jest całkowalna w sensie Riemana wtedy i tylko wtedy, gdy $\{x\in P: f$ nie jest ciągła w $x\}$ jest zbiorem miary zero.

11.05.2017: Zamiast wykładu mamy Juwenalia

18.05.2017: Całkowanie - II

1. Dla zbioru $A \subseteq \RR^n$ określamy $$ 1_A(x) = \begin{cases}1 &:& x\in A\\0 &:& x\in\RR^n \setminus A\end{cases} $$
2. Definicja: Jeśli $\Pi$ jest prostokątem oraz $A\subseteq \Pi$, to $$ \int_A f = \int_{\Pi} f\cdot 1_A $$
3. Przykład: Jeśli $(\forall x\in [a,b])(\phi(x)\leq\psi(x))$ oraz $A=\{(x,y):x\in[a,b]\land \phi(x)\leq y \leq \psi(x)\}$ to $$ \int_A f dxdy = \int\limits_{a}^{b} \left(\int\limits_{\phi(x)}^{\psi(x)} f(x,y) dy\right) dx~. $$
4. Przykład: $V_1=\{(x,y,z):x^2+z^2\leq 1\}$, $V_2=\{(x,y,z):y^2+z^2\leq 1\}$, $U=V_1\cap V_2$. Liczymy objętość zbioru $U$: $$ \iiint_A 1 dxdydz = \int_{-1}^{1} \left(2\sqrt{1-r^2}\right)^2 dr = \ldots = \frac{16}{3} $$
5. Def: Równoległobok: $$ \pi(v_1,\ldots,v_n) = \left\{\sum_{i=1}^{n} a_i v_i: a_1,\ldots,a_n \in [0,1]\right\} $$
6. Twierdzenie. Jeśli $v_1,\ldots,v_n \in \RR^n$ to $$ vol_n(\pi(v_1,\ldots,v_n)) = abs\left(\det \begin{bmatrix}v_1\\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} \right) $$
7. Twierdzenie: Jeśli $\Omega \subseteq \RR^n$, $\Phi:\Omega \to \RR^n$ jest klasy $C^1$ oraz różnowartościowa to $$ \int_{\Phi(\Omega)} f = \int_{\Omega} f\circ\Phi \circ |det(J_{\Phi})|~. $$
8. Przykład: $\Phi(x,y) = (ax, by)$; $\Omega = \{(x,y):x^2+y^2\leq 1\}$. Wtedy $E=\Phi(\Omega)$ jest elipsą o ramionach $a$ i $b$. Mamy $|det(J_{\Phi}(x,y)| = a\cdot b$, więc $$ vol_2(E) = \iint\limits_E 1 dxdy = \iint\limits_{\Phi(\Omega)} 1 dxdy = \iint\limits_{\Omega} ab \cdot dxdy = \pi a b~. $$

25.05.2017: Całkowanie - III

1. Współrzędne biegunowe:
   1. Wzór: $\phi(r,\alpha) = [r\cos(\alpha),r\sin(\alpha)]$
   2. Zakres zmiennych: $(r,\alpha) \in [0,\infty]\times[0,2\pi]$
   3. Jakobian: $det_{\phi}(r,\alpha) = r$
2. Uwaga: zbiory $\{0\}\times[0,2\pi]$ oraz $\RR\times\{2\pi\}$ są zbiorami miary zero
3. Uwaga: $\int_{[a,b]\times[c,d]} f(x) g(y) dx dy = \left(\int_{a}^{b} f(x) dx\right) \cdot \left(\int_{c}^{d} g(y) dy\right)$
4. Objętość kuli $n$-wymiarowej: $vol(K_{n}(0,R) = c_n R^n$, gdzie $c_1 = 2$; $c_2=\pi$ oraz $c_{n+2} = \frac{2\pi}{n+2} c_n$
5. Wniosek: $vol(K_{2n}(0,R) = \frac{\pi^n}{n!}$
6. TWIERDZENIE: $\int_{\RR} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$
   Uwaga: Powinniście tak długo przyglądać się dowodowi twierdzenia aż stanie się ono dla was oczywiste !!!
7. $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\RR} e^{-x^2/2} dx = 1$$
8. Współrzędne cylindryczne:
   1. Wzór: $\phi(r,\alpha,h) = [r\cos(\alpha),r\sin(\alpha),h]$
   2. Zakres zmiennych: $(r,\alpha,h) \in [0,\infty]\times[0,2\pi]\times\RR$
   3. Jakobian: $det_{\phi}(r,\alpha) = r$
9. Współrzędne sferyczne:
   1. Wzór: $\phi(r,\alpha,\theta) = [r\cos(\alpha)\cos(\theta),r\sin(\alpha)\cos(\theta),r\sin(\theta)]$
   2. Zakres zmiennych: $(r,\alpha,\theta) \in [0,\infty]\times[0,2\pi]\times[-\pi/2,\pi/2]$
   3. Jakobian: $det_{\phi}(r,\alpha,\theta) = r^2 \cos(\theta)$
   Uwaga: Na następnym wykładzie omówimy drugi wariant tego wzoru
10. Zadanie do samodzielnego zrobienia: sprawdź wzór na objętość trzy wymiarowej kuli.

01.06.2017: Całkowanie - IV

1. Wzór na objętość bryły obrotowej: $vol(A^*) = \iint_A y dx dy$, gdzie $A^* = \{(x,y,z): \left(x,\sqrt{y^2+z^2}\right) \in A\}$
2. Środek cieżkości bryły: $R_i = \frac{1}{vol(A)} \int_A x_i dx$
3. Twierdzenie Pappusa-Guldin'a: $vol(A^*) = 2 \pi R_y pow(A)$, gdzie $(R_x,R_y)$ jest środkiem ciężkości powierzchni $A$
4. Długość łuku: $L = \int_a^b ||\phi'(t)|| dt$.
5. Środek ciężkości łuku: $R = \frac{1}{L} \int_a^b \phi(t)||\phi'(t)|| dt$.
6. Powierzchnia płata: $$ S = \iint\limits_{\Pi} \sqrt{\left|\frac{d\phi}{dx}\right|^2 \left|\frac{d\phi}{dx}\right|^2 - \IS{\frac{d\phi}{dx}}{\frac{d\phi}{dy}}^2} $$
7. Twierdzenie Pappusa-Guldin'a: $pow(L^*) = 2\pi\cdot R_y \cdot dlug(L)$, gdzie $(R_x,R_Y)$ jest środkiem ciężkości łuku $L$.
8. Całka krzywoliniowa z pola wektorowego $F$ wzdłuż łuku $\phi$: $$ \int\limits_{\phi} \vec{F}\cdot \vec{dl} = \int\limits_{a}^{b} \IS{(F\circ\phi)(t)}{\phi'(t)} dt~. $$