21.02.2018: Szeregi

1. Przypomnienie: Def: $\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n = g\right) \IFF (\lim_{n}\sum_{k=0}^n a_k = g)$
2. Przypomnienie: Fakt: Jeśli $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ jest zbieżny, to $\lim_{n}a_0 = 0$
3. Przekład: jeśli $|q|\lt 1$ to $\sum_{n\geq 0} q^n = \frac{1}{1-q}$
4. $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(n+1)} = 1$
5. Jeśli $0 \leq a_n \leq b_n$ i $\sum_n b_n \lt \infty$ to $\sum_n a_n \lt \infty$
6. $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n^2} \lt \infty$
7. $\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n} = \infty$
8. Tw. (o zagęszczaniu) Załóżmy, że $a_0 \geq a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq 0$. Wtedy szereg $\sum_n a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg $\sum_n 2^n s_{2^n}$ jest zbieżny.
9. Wniosek: Szereg $\sum_{n\geq 1} \frac{1}{n^\alpha}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\alpha \gt 1$.
10. Def. Szereg $\sum_n a_n$ jest bezwzględnie zbieżny jeśli zbieżny jest szereg $\sum_n |a_n| \lt \infty$
11. Tw. Jeśli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny
12. Tw. (o szeregach naprzemiennych) Jeśli $a_0 \geq a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq 0$ oraz $\lim_n a_n = 0$ to szereg $\sum_n (-1)^n a_n$ jest zbieżny
13. Wniosek: szereg $\sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{n}$ jest zbieżny
14. Kryterium d'Alamberta: jeśli $\limsup_n |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \lt 1$ to szereg $\sum_n a_n$ jest bezwzględnie zbieżny
15. Kryterium Cauchy'ego: jeśli $\limsup_n \sqrt[n]{|a_{n}|} \lt 1$ to szereg $\sum_n a_n$ jest bezwzględnie zbieżny
16. Def: Szereg potęgowy: funkcja postaci $f(x) = \sum_{n\geq 0} a_n x^n$
17. Def: Promień zbieżności szeregu potęgowego $$ R = \frac{1}{\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|}} $$

21.02.2018: Szeregi - II

1. Fakt: Jeśli $\lim_n \|\frac{a_{n+1}}{a_n}\| = g$, to $\limsup_n \sqrt[n]{|a_n|} = g$
2. Przykład: $f(x) = \sum_{n}\frac{x^n}{n!}$; promień zbieżności $R = \infty$
3. Przykład: $f(x) = \sum_{n} x^n$; promień zbieżności $R=1$; dla $|x|\lt 1$ mamy $f(x) = \frac{1}{1-x}$
4. Tw. Załóżmy, że $f(x) = \sum_{n} a_n x^n$ ma promień zbieżności $R$. Wtedy $f$ jest różniczkowalna na przedziale $(-R,R)$ oraz $$ f'(x) = \sum_{n \geq 1} n a_n x^{n-1}. $$
5. Przykład: $$\sum_{n} (n+1)x^n = (\sum_n x^n)' = \left(\frac{1}{1-x}\right)' = \frac{1}{(1-x)^2}$$
6. Tw. Załóżmy, że $f(x) = \sum_{n} a_n x^n$ ma promień zbieżności $R$. Wtedy $f$ jest całkowalna na przedziale $(-R,R)$ oraz $$ \int_{0}^{t} f(x) dx = \sum_{n \geq 0} \frac{a_n}{n+1} t^{n+1}. $$
7. Przykład: $$ \sum_{n\geq 1} \frac{1}{n}x^n = \int_{0}^{x} \sum_{n\geq 0} t^n dt = \int_{0}^{x} \frac{1}{1-t} dt = \ln \frac{1}{1-x}~. $$

Przestrzeń $\RR^n$

1. Iloczyn skalarny: $\IS{x}{y} = \sum_{k=1}^{n} x_i y_i$
2. Norma: $||x|| = \sqrt{\IS{x}{x}}$
3. Odległość: $d(x,y) = ||x-y||$
4. Nierówność Cauchy'ego - Schwartza: $|\IS{x}{y}| \leq ||x||\cdot ||y||$
5. Def. Niech $(x_n)$ będzie ciągiem punktów $\RR^n$ oraz $g\in\RR^n$. Wtedy $$ \left(\lim_n x_n = g\right) \IFF (\forall \varepsilon \gt 0)(\exists N)(\forall n\geq N)(d(x_n,g)\lt \varepsilon)~. $$
6. Przykład: $$ \lim_n \left(\frac{1}{n+1}, \sqrt[n]{n+1}, \left(1-\frac1n\right)^n, \left(1+\frac3n\right)^n\right) = (0,1,\frac1e, e^3)~. $$

07.03.2017: Ciągłość

1. Uwaga: $\lim_n a_g = g \IFF\lim_n d(a_n,g) = 0$
2. Def. Dla $f:\RR^n \to \RR^m$, $a\in\RR^n$, $g\in\RR^m$ mówimy, że $\lim_{x\to a} f(x) = g$ jeśli dla dowolnego ciągu punktów $(x_n)$ z $\RR^n\setminus \{a\}$ zbieżnego do $a$ mamy $\lim_n f(x_n) =g$.
3. Def. $f:\RR^n \to \RR^m$ jest ciągła w punkcie $a$ jeśli $\lim_{x\to a}f(x) = f(a)$
4. Przykład: funkcja $s(x,y) = x+y$ jest ciągła.
5. Tw. Złożenie funkcji ciągłych jest ciągłe.

Wykresy z drugiej godziny wykładu

Funkcja $f(x,y) = x^2+y^2$

Funkcja $f(x,y) = x^2-y^2$

Uwaga: $(0,0)$ nazywa się punktem siodłowym

Funkcja $f(x,y) = \frac{1}{x^2+y^2}$

Tutaj mamy: $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = \infty$

Funkcja $f(x,y) = \frac{1}{x^2-y^2}$

Tutaj mamy $\lim_{x\to 0}f(x,0) = +\infty$ oraz $\lim_{y\to 0}f(0,y) = -\infty$

Funkcja $f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$

Funkcja $f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^4+y^2}$

21.03.2017: Różniczkowanie - I

1. Obserwacja: $$g = f'(a) \IFF \lim_{h\to 0}\frac{|f(a+h) - (f(a) + g\cdot h)|}{|h|} = 0$$
2. Def. Niech $U \subseteq \RR^n$ będzie zbiorem otwartym oraz $F:U\to \RR^m$. Pochodną funkcji $F$ w punkcie $a\in U$ nazywamy odwzorowanie liniowe $\phi:\RR^n\to\RR^M$ takie, że
   $$ \lim_{h\to 0}\frac{||F(a+h)-(F(a)+\phi(h))||}{||h||} = 0~. $$
   Odwzorowanie $\phi$ jest wyznaczone jednoznacznie i oznaczane jest przez $DF(a)$.
3. Definicja. Niech $f:\RR^n \to \RR$ i $a\in\RR^n$. Wtedy
   $$ \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) = \frac{d f_i}{dx}(a_i) $$
   gdzie $f_i(x) = f(a + x\cdot e_i)$
4. Tw. Niech $f:\RR^n \to \RR$ i $a\in\RR^n$. Załóżmy, że $f$ jest różniczkowalna w punkcie $a$. Wtedy
   $$ (Df(a))(h) = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a)\cdot h_i $$
5. Def. Macierzą Jakobiego (jakobianem) funkcji $f:\RR^n\to\RR^m$ w punkcie $a$ nazywamy macierz pochodnej $Df(a)$ w standardowej bazie. Oznaczamy ją przez f'(a). Jakobian funkcji $\RR^n\to \RR$ w punkcie $a$ nazywamy również grafientem funkcji w punkcie $a$ i ozanczamy go przez $\nabla f(a)$.
6. Wniosek: $$ f'(a) = \nabla f(a) = \left[\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \frac{\partial f}{\partial x_2}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right] $$
7. Wniosek. Jeśli $f:\RR^n \to \RR^m$ i $f= (f_1,\ldots, f_m)$ to $$ f'(a) = \begin{bmatrix} \nabla f_1 (a) \\ \vdots \\ \nabla f_m(a) \end{bmatrix} $$ oraz jeśli $h = (h_1,\ldots,h_n)$ to $$ Df(a)(h) = \begin{bmatrix} \nabla f_1 (a) \\ \vdots \\ \nabla f_m(a) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} h_1 \\ \vdots \\ h_n \end{bmatrix} $$

28.03.2017: Różniczkowanie - II

1. Obserwacja. Załóżmy, że $f:\RR^n \to \RR^m$ jest różniczkowalna w punkcie $a$. Istnieje wtedy funkcja $\phi:\RR^n \to \RR^m$ taka, że $$ f(a+h) = f(a) + (Df(a))(h) + \phi(h) $$ oraz $$ \lim_{h\to 0} \frac{||\phi(h)||}{||h||} = 0~. $$
2. Twierdzenie. Załóżmy, że $f:\RR^n\to\RR^m$ oraz $g:\RR^m\to\RR^k$, $f$ jest różniczkowalna w punkcie $a\in\RR^n$ oraz $g$ jest różniczkowalna w punkcie $f(a) \in \RR^m$. Wtedy $g\circ:\RR^n\to\RR^k$ jest różniczkowala w punkcie $a$ oraz $$ D(g\circ f)(a) = (Dg)(f(a)) \circ (Df)(a) $$ (symbol $\circ$ oznacza tu złożenie odwzorowań)
   UWAGA: złożenie odwzorowań liniowych jest liniowe !!!
3. Wniosek. Jeśli spełnione są założenia poprzedniego twierdzenia, to $$ (g\circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a) $$ (symbol $\cdot$ oznacza tu złożenie macierzy)
4. Załóżmy, że $F:\RR^n \to \RR$ jest różniczkowalna. Niech $c\in\RR$. Załóżmy, że $\gamma:(a,b)\to \RR^n$ jest taka, że $(\forall t \in (a,b))(F(\gamma(t)) = 0)$ (czyli, że $\gamma$ jest poziomicą $F$). Wtedy $$ (\forall t \in (a,b)) \left( \IS{\nabla F (\gamma(t)}{\gamma'(t)} = 0 \right) ~, $$ czyli
   1. gradient jest prostopadły do poziomic
   2. gradient jest kierunkiem najszybszego wzrostu funkcji $F$
5. Definicja całki krzywoliniowej
6. Tw. Załóżmy, że $F\RR^n \to \RR^n$, $\gamma:[a,b] \to \RR^n$ są klasy $C^1$. Wtedy $$ \int_{\gamma} \vec{F} \cdot \vec{dl} = \int_{a}^{b} \IS{F(\gamma(t))}{\gamma'(t)} dt~. $$
7. Def. Pole $F$ nazywamy polem potencjalnym jeśli isnieje funkcja $U$ taka, że $F = \nabla U$
8. Twierdzenie. Jeśli pole $F = \nabla U$ oraz $\gamma:[a,b] \to \RR$, to $$ \int_{\gamma} \vec{F} \cdot \vec{dl} = U(\gamma(b)) - U(\gamma(a))~. $$

04.04.2017: Różniczkowanie - III (Reguła łańcucha)

1. Współrzędne bieginowe: $x(r,\theta) = r \cos(\theta)$; $y(r,\theta) = r \sin(\theta)$. Liczymy $\dot{x}$ = $\frac{\partial x}{\partial r} \dot{r} + \frac{\partial x}{\partial \theta}\dot{\theta}$ = ...
   po paru przekształceniech otrzymujemy $$ \dot{x}^2 + \dot{y}^2 = \dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2. $$
2. Def. Pochodna kierunkowa $f_{u}'(a) = \frac{d}{d t} f(a+t\cdot u)|_{t=0}$
3. Tw. Jeśli $f$ jest różniczkowalna w $a$ to $f_{u}'(a) = (\nabla f)(a) \cdot u$.
4. Wniosek. Jeśli $f:\RR^n\to\RR$ ma lokalne ekstremum w punkcie $a$ to $\nabla f(a) = \vec{0}$
5. Wzór Taylora II rzędu dla funkcji $f:\RR^n\to \RR$: $$ f(a+h) \approx f(a) + \frac{1}{1!}\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) h_i + \frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a) h_i h_j~. $$
6. Tw (Schwartz) Jeśli $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ oraz $\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ są ciągłe w punkcjie $a$ to $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (a)$ = $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(a)$.
7. Def (Hesjan) $H f(a) = \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right]_{i,j=1,\ldots, n}$.
8. Robocza definicja: $H_k f(a) = \left[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(a)\right]_{i,j=1,\ldots, k}$.
9. Warunek wystarczający na minimum lokalne. Jeśli $\nabla f(a) = \vec{0}$ oraz $(\forall k = 1\ldots n)(\det(H_k f(a)))>0)$, to $f$ ma lokalne minimum w punkcje $a$.
10. Wniosek (Warunek wystarczający na maksimum lokalne) Jeśli $\nabla f(a) = \vec{0}$ oraz $(\forall k = 1\ldots n)((-1)^k\det(H_k f(a)))>0)$, to $f$ ma lokalne maksimum w punkcje $a$.
11. Zaczynamy przyglądać się równaniu Eulera - Legrange'a.
    1. Definiujemu przestrzeń $\mathcal{H} = \{x:[a,b]\to\RR: x(a)=c \land x(b)=d \land \mbox{f jest gładka } \}$
    2. Przyglądamy się funkcjonałowi $J:\mathcal{H} \to \RR$ określonemu wzorem $$ J(x) = \int_{a}^{b} L(t, x(t), \dot{x}(t)) dt~, $$ gdzie $L = L(t,x,y)$ jest ustaloną funkcją gładką. Chcemy znaleźć kryterium na punkty ekstremalne funkcjonału $J$ na przestrzeni $\mathcal{H}$.
    3. Wprowadzamy odpowiednik pochodnej kierunkowej, czyli ustalamy gładka funkcję $u:[a,b]\to\RR$ taką, że $g(a)=g(b) = 0$ i postanowiliśmy zbadać $$ \phi(\epsilon) = \int_{a}^{b} L(t, f(t)+\epsilon u(t), \dot{f}(t)+\epsilon \dot{u}(t)) dt. $$

11.04.2018: Różniczkowanie - III

1. Wyprowadzenie wzoru Eulera-Lagrange'a:
   $$ \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$$
2. Przykład: ruch w polu centralnym; zastosowaliśmy równanie E-L do Lagranżjanu wyrażonego w układzie biegunowym: $$ L = \frac{m}{2}(\dot{r}^2 + r^2 \dot{\theta}^2) - V(r) $$ Wyszło: $r^2 \dot{\theta} \equiv const$.
3. Zrobilliśmy zadanie optymalizacyjne: szukaliśmy rozmiarów prostokątnego pudełka bez górnej ściany o ustalonej powierzchni $V$ ktróe ma najmniejszą powierzchnię. Wyszło nam, że jest to pudełko o podstawie kwadratowej o krawędzi długości $a$ i wysokości $h=\frac12 a$. Z tego wynika, że $a = (2 V)^{1/3}$.
4. Def. Dla wektorów $X_1, \ldots, X_n$ w $\RR^m$ określamy $$ P(X_1, \ldots, X_n) = \{\sum_{i=1}^{n}\lambda_i X_i: \lambda_i \in [0,1]\}~. $$
5. Tw. Jeśli $X_1, \ldots, X_n \in \RR^n$ to $$ |\det([X_1|\ldots|X_n])| = \mathrm{vol}_n(P(X_1, \ldots, X_n))~. $$
6. TWIERDZENIE o ODWZOROWANIU OTWARTYM. Załóżmy, że $A$ jest otwartym podzbiorem przestrzeni $\RR^n$, $a\in A$ oraz, że $F:A \to \RR^n$ jest klasy $C^1$ oraz $\det(F'(a)) \neq 0$. Istnieją wtedy zbiory otwarte $U$ oraz $V$ takie, że
   1. $a \in U$, $F(a) \in V$
   2. $F(U) = V$
   3. $F$ jest różnowartościowa na $U$
   4. $F^{-1}:V \to U$
   5. $F^{-1}$ jest klasy $C^1$ na $V$
   Twierdzenie to można podsumować następująco: jeśli $\det(F'(a)) \neq 0$, to $F$ jest lokalnie odwracalna w punkcjie $a$.
7. Przykład. Funkcja $F(x,y) = (\cos(x)e^{y}, \sin(x)e^y)$ jest lokalnie odwracalna w każdym punkcie ale nie odwracalna (bo nie jest różnowartościowa: $F(x+2\pi,y) = F(x,y)$).

18.04.2018: Różniczkowanie - IV

1. Twierdzenie o funkcji uwikłanej. Załóżmy, że $F:\RR^n\times\RR^m \to \RR^m$ jest klasy $C^1$, $(a,b) \in \RR^n\times\RR^m$, $F(a,b) = \vec{0}$ oraz, że $$ \det\left(\frac{\partial f}{\partial (y_1 \ldots y_m)}](a,b)\right) \neq 0~. $$ Istnieje wtedy otoczenie $U\subseteq \RR^n$ punktu $a$ oraz funkcja $\phi:U\to\RR^m$ klasy $C^1$ taka, że $\phi(a)=b$ oraz $$ (\forall x \in U)(F(x,\phi(x)) = 0)~. $$ Szkic dowodu: rozważamy funkcję $G(x,y) = (x,f(x,y))$; pokazujemy, że możemy do niej zastosować twierdzenie o funkcji odwrotne i przyglądamy się temu co z tego wynika.
2. Z powyższego wzoru wynika, że $$ \frac{\partial \phi}{\partial (x_1 \ldots x_n)} = - \left(\frac{\partial f}{\partial (y_1 \ldots y_m)} \right)^{-1} \cdot \frac{\partial f}{\partial (x_1 \ldots x_n)} $$
3. Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym. Niech $U \subseteq R^n$ będzie zbiorem otwartym, niech $f:U\to\RR^m$ będzie klasy $C^1$ takim, że $$ (\forall x\in U)(rank(f'(x)) = m )~. $$ Wtedy $f(U)$ jest zbiorem otwartym.
4. Mnożniki Lagrange'a. Załóżmy, że $F,G_1,\ldots,G_k:\RR^n \to \RR$. Niech $$ V=\{x\in\RR^n: G_1(x) = \ldots = G_k(x) = 0\}~.$$ Jeśli funkcj $F$ ma ekstrmum lokalne w punkcie $a\in V$ na zbiorze V oraz jeśli wektory $\nabla G_1(a)$, ... , $\nabla G_k(a)$ są liniowo niezależne, że $$ \nabla F(a) \in \span{\{\nabla G_1(a), ... , \nabla G_k(a)\}}~. $$

25.04.2018: Różniczkowanie - IV i wstęp do całek

1. Równoważna postać twierdzenia o mnożnikach Lagrange'a: $$ (\exists \lambda_1,\ldots,\lambda_k)( \nabla(F - \sum_{i=1}^k \lambda_i G_i) (a) = 0 ) $$
2. Zastosowania mnożników Lagrange'a
3. Def: Prostopadłościan $n$-wymiarowy: zbiór postaci $P = [a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]$ dla dowolnych $a_i\leq b_i$.
4. Def. $\vol{[a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]} = \prod_{i=1}^n(b_i-a_i)$.
5. Konstrukcja rozbić prostopadłościan $n$-wymiarowyego: bierzmy rozbicia $\pi_i$ odcinków $[a_i,b_i]$ i rozważamy rodzinę $$ \rho =\{I_1\times\cdots I_n: I_1\in \sigma_1,\ldots,I_n\in\sigma_n\} $$
6. Dla $f:P\to\RR$ oraz rozbicia $\rho$ prostopadłościanu $P$ definiujemy
   1. $s(f,\rho) = \sum_{I\in\rho} \inf_{x\in I}f(x) \vol{I}$
   2. $S(f,\rho) = \sum_{I\in\rho} \sup_{x\in I}f(x) \vol{I}$
7. Dla $f:P\to\RR$ oraz prostopadłościanu $P$ definiujemy
   1. $l\int_P f = \sup\{s(f,\rho): \rho \mbox{ jest rozbiciem } P\}$
   2. $u\int_P f = \inf\{S(f,\rho): \rho \mbox{ jest rozbiciem } P\}$
   Mówimy, że funkcja $f$ jest całkowalna na $P$ jeśli $l\int_P f =u\int_P f$ a wspólną wartość oznaczamy przez $\int_P f$.
8. Tw. Funkcje ciągłe są całkowalne
9. Twierdzenie Fubbiniego. Niech $P$ będzie $n$ wymiarowym prostopadłościanem, $Q$ - $m$ wymiarowym prostopadłościanem, $f:P\times Q\to\RR$ będzie ciągła. Wtedy $$ \int_{P\times Q} f(\vec{x},\vec{y}) d\vec{x}d\vec{y} = \int_{P} \left(\int_{Q} f(\vec{x},\vec{y}) d\vec{y}\right) d\vec{y} ~. $$ Dowód twierdzenia Fubbibiego zrobiliśmy dla $\RR^2$ oraz dla funkcji postaci $$ f(x,y) = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{k} a_{ij} \mathbf{1}_{I_i\times J_j}(x,y) $$ dla rozbić ${I_1,\ldots I_m}$ oraz ${J_1,\ldots J_k}$ odcinków $[a,b]$ i $[c,d]$, gdzie $\mathbf{1}_A$ oznacza chunkcję charakterystyczną zbioru $A$.

09.05.2018: Twierdzenie o zamianie zmiennych

1. Def. Zbiór $A\subseteq \RR^n$ ma miarę zero, jeśli dla dowolnego $\epsilon \gt 0$ istnieje taka rodzina $(P_k)_{k\in\NN}$ $n$-wymiarowych przedziałów, że $A \subseteq \bigcup_k P_k$ oraz$\sum_k vol(P_k) \lt \epsilon$
2. Przykład: Niech $f:[a,b]\to\RR$ będzie ciągła oraz $G_f = \{(x,f(x)):x\in[a,b]\}$. Wtedy zbiór $G_f$ ma miarę zero.
3. Twierdzenie z zamianie zmiennych. Niech $U\subseteq \RR^n$ będzie zbiorem otwartym. Niech $\Phi:U \to \RR^n$ będzie odwzorowaniem 1-1 klasy $C^1$. Niech $f:\Phi(U)\to\RR$ bedzie ciągła. Wtedy
   $$ \int_{\Phi(U)} f(\vec x) d\vec{x} = \int_U (f\circ \Phi)(\vec{u}) |\det(\Phi'(\vec{u}))| d\vec{u} $$
4. Przykład. Jeśli $\phi(x,y) = (a\cdot x, b\cdot y)$, to $\det(\Phi') = a\cdot b$. A z tego mamy wniosek: pole powierzchni elipsy $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1$ jest równe $\pi a b$.
5. Podobnie: objętość elipsoidy $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} + +\frac{z^2}{c^2} \leq 1$ jest równe $\frac{4}{3}\pi a b c$.
6. Współrzędne biegunowe: $\Phi:[0,\infty)\times[0,2\pi) \to \RR^2$ określamy wzorem $\Phi(r,\theta) = (r\cos(\theta), r\sin(\theta))$. Mamy $\det(\Phi(r,\theta)) = r$. Biorąc $P = [0,R]\times [0,2\pi)$ mamy $\Phi(P) = K((0,0),R)$, zatem $$ vol_{(2)}(K((0,0),R)) = \int_{\Phi(P)} 1 dx dy = \int_P r dr d\theta = \ldots = \pi R^2 $$
7. Liczymy całkę $C = \int_{\RR} e^{-x^2} dx$. Oto główne kroki
   1. $C\cdot C$ = $(\int_{\RR} e^{-x^2} dx) (\int_{\RR} e^{-y^2} dy)$ = $\int_{\RR^2} e^{-(x^2+y^2)} dx dy$.
   2. Przechodząc do współrzędnych biegunowych mamy $$ C^2 = \int_{[0,\infty)\times[0,2\pi]} r e^{-r^2} dr d\theta = \int_0^{\infty} \left(\int_{0}^{2\pi} re^{-r^2} d\theta \right) dr = 2 \pi \int_0^{\infty} re^{-r^2} dr $$
   3. Teraz zauważamy, że $(e^{-r^2})' = (-2) r e^{-r^2}$, więc $$ C^2 = 2\pi \left(\frac{-1}{2}\right) \int_{0}^{\infty} (e^{-r^2})' dr = - \pi [e^{-r^2}]_{0}^{\infty} = - \pi (0-1) = \pi~. $$
   Mamy zatem
   $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$$

   [Kelvin]: "A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.”

16.05.2018: Zastosowania całek wielokrotnych

1. Rozważamy przekształacenie płasczyzny zadane wzorem: $\Phi(x,y) = (x+a\cdot y,y)$. Pokazaliśmy, że dla dowolnej figury $S\subseteq \RR^2$ mamy $pow(\Phi(S)) = pow(S)$
2. Ustalamy figurę $S\subseteq \RR^2$ oraz $P\in\RR^3$. Rozważamy "stożek" o podstawie $S$ i wierzchołku $P$. Jest to zbiór $$ S^* = \{(x,y,0) + t((a,b,c)-(x,y,0)): (x,y)\in S \land t\in [0,1]\}~ $$ Pokazaliśmy, że $\vol{S^*} = \frac13 pow(S)\cdot |a|$.
3. Oznaczenia: $K_n(r) = \{(x_1,\ldots,x_n): x_1^2+\ldots+x_n^2 \leq r^2\}$; $\alpha_n = \vol{K_n(1)}$.
   1. mamy: $\vol{K_n(r)} = \alpha_n r^n$
   2. Pokazaliśmy, że $\alpha_{n+2} = \frac{2\pi}{n+2}$.
   3. Wyprowadziliśmy z tego wzór: $\alpha_{2n} = \frac{\pi^n}{n!}$
4. Twierdzenie Green'a. Jeśli $\gamma:[0,1]\to\RR^2$ jest gładką krzywą prostą (bez przecięć) zamkniętą dodatnio zorientowaną (odwrotnie do ruchu wspazówe zegara), $S$ jest obszarem ograniczonym przez $\{\gamma(t):t\in[0,1]\}$ oraz $\vec{F}=(F_1,F_2)$ jest polem wektorowym na płaszczyżnie, to
   $$ \int\limits_\gamma \vec{F} d\vec{l} = \iint\limits_S \left(-\frac{dF_1}{dy}(x,y) + \frac{d F_2}{dx}(x,y) \right)dx dy $$

23.05.2018: Formy różniczkowe

1. Def. $k$ wymiarowym płatem w otwartym podzbiorze $$\subseteq \RR^n$ nazywamy dowolną gładką funkcję $\gamma:[0,1]^k \to U$.
2. Def. Ustalamy zbiór otwarty $U\subseteq \RR^n$. Elementarną $k$-formą w $U$ nazywamy dowolne wyrażenie postaci $$ a(x_1,\ldots,x_n) dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k} $$ gdzie $a:U\to\RR$ oraz $1\leq i_1, \ldots, i_k \leq n$.
3. Oznaczenie: jeśli $I = (i_1,\ldots,i_k)$, gdzie $1\leq i_1, \ldots, i_k \leq n$, to
   • przez $dx^I$ oznaczać będziemy wyrażenie $dx_{i_1} \wedge dx_{i_2} \wedge \ldots \wedge dx_{i_k}$. Elementaną formę różniczkową możemy zapisać więc w postaci $\omega = a(\vec{x}) dx^I$.
   • Jeśli $\gamma = (\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$ to przez $\gamma_I$ oznaczamy funkcję $(\gamma_{i_1}, \ldots,\gamma_{i_k})$
4. Def. Działaniem elementarnej $k$ formy $\omega = a(x)dx^I$ na $k$ płacie $\gamma$ nazywamy liczbę $$ \int\limits_\gamma \omega = \int\limits_{[0,1]^k} a\circ\gamma(\vec{u}) \cdot \det((\gamma_I)'(\vec{u})) du_1\cdots du_k~. $$
5. Przykład: jeśli $\gamma:[0,1]\to\RR^n$ jest $1$ - płatem (czyli krzywą w $\RR^n$), to $$ \int_\gamma dx_1 = \gamma_i(1) - \gamma_i(0) $$ czyli $dx_i$ możemy interpretować jako operator przyrostu $i$-tej współrzednej.
6. Def. $k$ formą nazywamy skończoną sumę $k$ form elementarnych. Jeśli $\omega_1, \ldots, \omega_m$ są elementarnymi $k$ formali oraz $\eta = \omega_1 + \ldots + \omega_m$ to przyjmujemy, że $$ \int\limits_\gamma \eta = \sum_{i=1}^{m} \int\limits_\gamma \omega_i~. $$
7. Przykład: Jeśli $\gamma:[0,1]\to\RR^n$, $\vec{F} = (F_1,\ldots,F_n)$ test polem wektorowym na $\RR^n$, to $$ \int_\gamma \vec{F}\cdot d\vec{l} = \int_\gamma (F_1 dx_1 + \ldots F_n dx_n) $$
8. Def. Dwie $k$-formy $\omega$ i $\eta$ nazaywamy równymi, jeśli dla każdego $k$-płata $c$ mamy $\int_c\omega = \int_c\eta$.
9. Z własności wyznacznika wywnioskowaliśmy, że $a dx_i\wedge dx_i = 0$ oraz, że $a dx_i \wedge dx_j = - a dx_j \wedge dx_i$
10. Iloczyn zewnętrzny dwóch form: $$ (a(x)dx_{i_1}\wedge \ldots dx_{i_k}) \wedge (b(x)dx_{j_1}\wedge \ldots dx_{j_m}) = a(x)b(x) dx_{i_1}\wedge \ldots dx_{i_k} \wedge dx_{j_1}\wedge \ldots dx_{j_m} $$
11. Def. $0$-forma: funkcja $f:U\to\RR$
12. Def. Pochodna zewnętrzna $0$ formy $f$: $$d_f = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i$$
13. Def. Pochodna zewnętrzna formy elementarnej $\omega = a(x)dx^I$: $$ d(a dx^I) = (da) \wedge dx^I $$
14. Przykład: Jeśli $\gamma :[0,1]\to U$ to $\int_\gamma df = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0))$
15. Przykład (twierdzenie Greena): c.d.n.

06.06.2018: Formy różniczkowe - II

1. Jeśli $\pi$ jest permutacją zbioru $\{1,2,\ldots,k\}$ to $$ dx_{\pi(1)} \wedge dx_{\pi(2)} \wedge \cdots \wedge dx_{\pi(k)} = \mathrm{sgn}(\pi) dx_{1} \wedge dx_{2} \wedge \cdots \wedge dx_{k} ~, $$ gdzie $\mathrm{sgn}(\pi)$ oznacza znak permutacji $\pi$.
2. Niech $\vec{F} = (F_1,F_2,F_3)$ będzie polem wektorowym na zbiorze otwartym $U \subseteq \RR^3$. Wprowadzamy oznaczenia:
   1. $\omega^1_{\vec{F}} = F_1 dx + F_2 dy + F_3 dz$
   2. $\omega^2_{\vec{F}} = F_1 dy\wedge dz + F_2 dz\wedge dx + F_3 dx \wedge dy$.
3. Mamy: $df = \omega^1_{\nabla f}$
4. Tw. $d \omega^1_F = \omega^2_{\nabla\times F}$
5. Tw. $d \omega^2_F = (\nabla\cdot F) dx\wedge dy \wedge dz$, gdzie $\nabla\cdot F = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z}$ (to jest tak zwana dywergencja pola $\vec{F}$)
6. Tw. Dla dowolnej formy $\omega$ mamy
   $$d d \omega = 0$$
7. Wniosek: $\nabla \times (\nabla f) = 0$
8. Wniosek: $\nabla \cdot (\nabla \times F) = 0$

13.06.2018: Formy różniczkowe - III

1. Def: $I^n(u_1,\ldots,u_n) = (u_1,\ldots,u_n)$ dla $(u_1,\ldots,u_n) \in [0,1]^n$
2. Def: $I^n_{k,\epsilon}(u_1,\ldots,u_{n-1}) = (u_1,\ldots,u_{k-1},\epsilon,u_k,\ldots, u_{n-1})$
3. Def:
   $$\partial I^n = \sum_{k=1}^{n}\sum_{\epsilon=0}^{1} (-1)^{k+\epsilon} I^n_{k,\epsilon}~.$$
4. Def: $$\partial c = \sum_{k=1}^{n}\sum_{\epsilon=0}^{1} (-1)^{k+\epsilon} c\circ I^n_{k,\epsilon}~.$$
5. Tw (Słaba wersja twierdzenia Stokes'a) Jeśli $\omega$ jest $n-1$ formą na $\RR^n$, to $$ \int\limits_{I^n} d\omega = \int_\limits{\partial I^n} \omega$$
6. Def. Niech $c:\RR^n \to \RR^m$ i $a:\RR^m \to \RR$. Określamy $$ c\star (a dx_{i_1} \wedge \ldots \wedge dx_{i_n}) = a\circ c (dc_{i_1}) \wedge \ldots \wedge (d c_{i_n}) $$
7. Lemat. $\int_I^n c\star \omega = \int_{c\circ I^n} \omega$
8. Lemat(bez dowodu - zadanie). $c\star(d\omega) = d(c\star\omega)$
9. Twierdzenie Stokes'a. Jeśli $\omega$ jest $n-1$ formą na $\RR^m$, oraz $c$ jest $n$ - płatem w $\RR^m$ to
   $$ \int\limits_{c} d\omega = \int\limits_{\partial c} \omega $$
10. Przykład: Prawo $\nabla \circ E = \frac{q}{\epsilon_0}$ jest równoważne równaniu $$ \int_{\partial \Pi} \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{Q}{\epsilon_0}~. $$
11. Prawo Archimedesa: Jeśli $f:\RR^3 \to \RR$ oraz $\Pi:[0,1]^3 \to \RR^3$ to (eureka)
    $$ \int\limits_{\partial \Pi} f d\vec{S} = \int\limits_{\Pi} (\nabla f) dV ~. $$