Jacek Cichoń

Katedra Podstaw Informatyki ● WIT ● PWr
Strona główna Archiwum

Subsets of the Real Line - Part I

Table of Contents

  1. Preliminary Facts from Set Theory
  2. Elements of General Topology
  3. Elements of Descriptive Set Theory
  4. Some Facts from Measure Theory
  5. Choquet’s Theorem and its Applications
  6. The Structure of the Real Line
  7. Measure and Category on the Real Line
  8. Some Classical Subsets of the Real Line
Download
(BOOK.pdf)

The second part of the book has not been written yet.

$ \def\RR{\mathbb{R}} \def\QQ{\mathbb{Q}} $

Streszczenie

W książce zajmujemy podzbiorami prostej rzeczywistej $\RR$ o ciekawych topologicznych oraz miarowych własnościach.
Książkę rozpoczynamy od omówienia podstawowych faktów z teorii mnogości, topologii, deskryptywnej teorii teorii mnogości i teorii miary.
Następnie przystępujemy do omówienia pewnych strukturalnych właściwości $\RR$, a potem omawiamy konstrukcje serii ważnych klasycznych podzbiorów $\RR$. Wśród nich są discontinuum Cantor'a - zbiór Lebegowsko mierzalny, takie, że on oraz jego dopełnienie przecinają każdy niepusty otwarty przedział na zbiorze o dodatniej mierze, niemierzalny zbiór Vitalego, bazę Hamela dla $\RR$, zbiory Bernstein'a, zbiory Luzina, zbiory Sierpińskigo i.t.d.

Zajmujemy się $\sigma$ - ideałem zbiorów pierwszej kategorii Baire'a i $\sigma$ - ideałem zbiorów miary Lebesgue'a zero. Omawiamy podobieństwa między tymi klasami zbiorów, oraz pewne istotne różnice między nimi. Poza tym, w książce można znaleźć prosty dowód twierdzenia Choquet'a o pojemnościach oraz jego kilka zastosowań.

Przyjemnego czytania !!!

Summary

In this book we consider a variety of remarkable subsets of the real line and certain interesting classes of subsets of the real line $\RR$.
For the reader’s convenience we present the material in a comprehensive and detailed form. For this reason the book contains a large number of basic facts from set theory, topology, descriptive set theory and measure theory.
After these preliminary facts we consider some structural properties of $\RR$ and then give detailed constructions of some important classical subsets of $\RR$. Among them there are the Cantor discontinuum - a Lebesgue measurable set which together with its complement intersects every non-empty open interval on a set of strictly positive measure, a Vitali non-measurable set, a Hamel basis for $\RR$, a totally imperfect Bernstein set, a Luzin set, a Sierpiński set and so on.
In this book we study first category sets and Lebesgue measure zero sets and discuss not only analogies between category and measure but also some essential differences between them. Besides, we present an important result of Choquet, namely, the Choquet theorem on capacities, with several applications.