W1(06.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

1. Przykłady przestrzeni metrycznych
2. Operacje wnętrza, domknięcia i brzegu
   • $int(A) = \bigcup\{U: U \in \text{OPEN} \land U\subseteq A\}$
   • $int(int(A)) = int(A)$
   • $int(A\cap B) = int(A) \cap int(B)$
   • $int(A)\cup int(B) \subseteq int(A\cup B)$
   • $cl(A) = X\setminus int(X\setminus A)$
3. Pojęcie przestrzeni topologicznej

W2(13.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

1. Baza przestrzeni topologicznej. Waga przestrzeni. II aksjomat przeliczalności.
2. Zbiory gęste, przestrzenie ośrodkowe.
3. Tw. Jeśli przestrzeń spełnia II aksjomat przeliczalności, to jest ośrodkowa.
4. Przekład: linia Sorgenfrey'a (strzałka)
5. Definicja funkcji ciągłej w punkcie
6. Definicja funkcji ciągłej: $(\forall U \in \mathcal{O}_Y)(f^{-1}[U] \in \mathcal{O}_X)$
7. Logika modalna S4

W3 (20.03.2025): Przestrzenie metryczne i topologiczne

W4 (27.03.2025): Zupełność

1. Ciągi Cauchy'ego. Przestrzeń metryczna zupełna.
2. Twierdzenie o przedłużaniu funkcji jednostajnie ciągłych o wartościach w przestrzeni zupełnej z gęstego podzbioru na całą przestrzeń.
3. Definicja jednostajnej zbieżności.
4. Tw: Jeśli $(f_n)_n$ są ciągłe i $f_n \rightrightarrows g$, to $g$ jest ciągła.
5. Tw. Jeśli $Y$ jest zupełna, to $CB(T,Y)$ jest zupełna, gdzie $CB(T,Y)$ to przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych z $T$ w $Y$ z metryką $d_{sup}$.
6. Dla przestrzeni metrycznej $(X,d)$, ustalonego $a \in X$ oraz $p \in X$ określamy $f_p(x) = d(x,p) - d(p,a)$. Wtedy funkcja $\phi(p) = f_p$ jest izometrycznym zanurzeniem $(X,d)$ w $CB(X,\RR)$.
7. Wniosek. Każdą przestrzeń metryczna można zanurzyć gęsto w przestrzeń zupełną.
8. Przykłady: sinus topologiczny;
   $C([0,1],\RR),d_r)$, gdzie $d_r(f,g) = \int_0^1 |f(x)-g(x)| dx$.

W5 (03.04.2025): Zupełność

1. Całka na uzupełnieniu przestrzeni $C([0,1],\RR),d_r)$.
2. Zbieżność w przeliczalnym produkcie przestrzeni metrycznych.
3. Topologia produktowa (Tichonowa).
4. Pojęcie podbazy przestrzeni topologicznej.
5. Zgodność topologii produktowej z metryką produktową przeliczalnego produktu przestrzeni metrycznych.

W6 (10.04.2025): Twierdzenie Baire'a

1. Tw. Załóżmy, że przestrzeń topologiczna $T$ ma bazę mocy $\kappa$. Niech $\mathcal{S}$ będzie rodziną zbiorów otwartych. Istnieje wtedy podrodzina $\mathcal{S}' \subseteq \mathcal{S}$ taka, że $|\mathcal{S}'| \leq \kappa$ oraz $\bigcup\mathcal{S}' = \bigcup \mathcal{S}$.
2. Twierdzenie Cantora
3. Zbiory nigdzie gęste.
4. Zbiory pierwszej kategorii.
5. Tw (Baire). Przestrzeń zupełna nie jest zbiorem pierwszej kategorii.
6. Wniosek. Zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

W8 (28.04.2025): Zastosowania twierdzenie Baire'a i pojęcie spójności

1. Przykład: Załóżmy, że $f:[0,\infty) \to \RR$ ma następującą własność \[ (\forall x\geq 0)( \lim_{n\to\infty} f(n\cdot x) = 0 ) ~.\] Wtedy $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$.
2. Tw. Zbiór \[ \{f\in C([0,1]): (\exists x\in [0,1])(\exists f'(x))\} \] jest zbiorem pierwszej kategorii w $C([0,1])$.
3. Def. Przestrzeń $X$ jest spójna jeśli nie istnieją zbiory otwarte $U, V \subseteq X$ takie, że $U\cup V = X$ oraz $U\cap V = \emptyset$.
4. Charakteryzacja podzbiorów spójnych $\RR$.

W9 (08.05.2025): Spójność

1. Tw. Jeśli $X$ jest spójna oraz $f:X\to Y$ jest ciągła, to $f(X)$ jest spójne.
2. Wniosek: własność Darboux funkcji ciągłych z $\RR$ w $\RR$
3. Def. Zbiory $A,B$ są rozdzielone ($A \perp B$) jeśli $(\CLO{A}\cap B)\cup(A\cap\CLO{B}) = \emptyset$
4. Fakt: $X$ jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych $A,B\subseteq X$ jeśli $A\cup B = X$ oraz $A\perp B$ to $A=\emptyset$ lub $B=\emptyset$.
5. Własności relacji $\perp$
6. Tw. Jeśli $X,Y$ są spójne, to $X\times Y$ jest spójny.
7. Tw. Jeśli przestrzenie $(X_t)_{t\in T}$ są spójne to przestrzeń $\prod_{t\in T} X_t$ jest spójna.
8. Tw. Łukowa spójność implikuje spójność.
9. Fakt: Sinus topologiczny jest spójny, ale nie jest łukowo spójny (zadanie).

W10 (15.05.2025): Zwartość

1. Def. Przestrzeń metryczna $(X,d)$ jest sekwencyjnie zwarta jeśli z każdego ciągu elementów $X$ można wybrać podciąg zbieżny.
2. Def. Przestrzeń topologiczna $T = (X,\mathcal{O})$ jest zwarta jeśli z każdego otwartego pokrycia $X$ można wybrać podpokrycie skończone.
3. Lemat: Przestrzeń metryczna zwarta jest lokalnie zwarta.
4. Lemat: Jeśli $(X,d)$ jest sekwencyjnie zwarta i $\epsilon \gt 0$, to istnieje skończony zbiór $D\subseteq X$ taki, że \[ (\forall x\in X)(\exists y\in D)(d(x,y)\lt \epsilon) \]
5. Wniosek: Jeśli $(X,d)$ jest sekwencyjnie zwarta to jest ośrodkowa.
6. Wniosek: Jeśli $(X,d)$ jest sekwencyjnie zwarta to ma bazę przeliczalną.
7. Wniosek: Jeśli $(X,d)$ jest sekwencyjnie zwarta to z każdego pokrycia otwartego $X$ można wybrać podpokrycie przeliczne.
8. Lemat: Jeśli $(X,d)$ jest sekwencyjnie zwarta to z każdego pokrycia przeliczalnego $X$ można wybrać podpokrycie skończone.
9. Tw. Jeśli $(X,d)$ jest przstrzenią metryczną, to następujące warunki są równoważne:

   1. $(X,d)$ jest sekwencyjnie zwarta
   2. $(X,d)$ jest zwarta
10. Tw. Jeśli $T$ jest zwarta i $f:T \to S$ jest ciągła, to $f(T)$ jest zwarta.
11. Wniosek (Tw. Weierstrassa) Jeśli $f:[a,b]\to \RR$ jest ciągła to jest ograniczona i osiąga kresy.

W11 (22.05.2025): Zwartość - II

1. Tw. Jeśli $X$ jest zwarta i $C\subseteq X$ jest domknięty, to $C$ jest zwarty.
2. Tw. Jeśli $X$ jest zwarta oraz $X\models T_2$ i $C\subseteq X$ jest zwarty, to $C$ jest domknięty.
3. Def. $\mathcal{F} \subseteq P(X)$ jest filtrem na $X$ jeśli $\mathcal{F}$ jest niepusty oraz domknięty na przekroje oraz nadzbiory.
4. Def. Filtr $\mathcal{F}$ jest właściwy jeśli $\emptyset \notin \mathcal{F}$.
5. Def. Filtr $\mathcal{F}$ jest ultrafiltrem jeśli $\mathcal{F}$ jest maksymalnym właściwym filtrem na $X$.
6. Tw. Niech $\mathcal{F}$ będzie filtrem właściwym na $X$. Wtedy następujące warunki są równoważne:
   1. $\mathcal{F}$ jest ultrafiltrem
   2. $(\forall A \in P(X))(A\in \mathcal{F} \lor A^c\in \mathcal{F})$
   3. $(\forall A,B\in P(X))(A\cup B \in \mathcal{F} \to (A \in \mathcal{F}) \lor (B\in \mathcal{F}))$
7. Def. Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz niech $\mathcal{F}$ będzie ultrafiltrem na $X$. wtedy \[ p \in \lim \mathcal{F} \IFF (B(p) \subseteq \mathcal{F})~, \] gdzie $B(p) = \{U \in OPEN: p \in U\}$.
8. Tw. Jeśli $X$ jest zwarta oraz $\mathcal{F}$ jest ultrafiltrem na $X$ to $\lim \mathcal{F} \neq \emptyset$.
9. Jeśli $X$ jest zwarta, $X\models T_2$ oraz $\mathcal{F}$ jest ultrafiltrem na $X$ to $$|\lim \mathcal{F}| = 1~.$$

W12 (05.06.2025): Zwartość - III

1. Tw. Jeśli $F$ jest ultrafiltrem na $X$ oraz $f:X\to Y$ to zbiór \[ f*F = \{U\in Y: f^{-1}(U) \in F\} \] jest ultrafiltrem na zbiorze $Y$.
2. Tw. (Tichonov) Jeśli $(X_t)_{t\in T}$ jest rodziną przestrzeni zwartych to $$\prod_{t\in T} X_t$$ jest przestrzenią zwartą.
3. Zastosowanie: Jeśli każdy skończony podgraf grafu $G$ jest $k$ - kolorowalny, to graf $G$ jest $k$ - kolorowalny.
4. Zastosowanie: Jeśli każdy skończony podzbiór zbioru $\mathcal{P}$ zdań Rachunku Zdań jest spełnialny, to zbiór $\mathcal{P}$ jest spełnialny.
5. Tw. Jeśli $X$ jest zwarta oraz $f:X\to Y$ jest ciągłą injekcją, oraz $Y\models T_2$, to $X$ jest homeomorficzna z $f(X)$.
6. Wniosek: Kostka Cantora $\{0,1\}^{\NN}$ jest homeomorficzna ze zbiorem Cantora.