04.10.2024: Rachunek Zdań - I

1. Pojęcie zdania rachunku zdań ($\mathcal{L}(\mathcal{P})$)
2. Pojęcie waluacji i rozszerzenie waluacji $\pi$ na dowolne zdania ($val(\pi,\phi)$)
3. Pojęcie tautologii: $\phi \in \mathcal{L}(\mathcal{P})$ jest TAUTOLOGIĄ ($\models \phi$), jeśli dla dowolnej waluacji $\pi:\mathcal{P}\to \{0,1\}$ mamy $val(\pi,\phi) = \mathbb{1}$

08.10.2024: Rachunek Zdań - II

1. Przegląd najważniejszych tautologii
2. Spójniki NAND, NOR, XOR
3. Synteza formuł
4. Postać dyzjunkcyjno - normalna (DNF)
5. Klauzule i postać koniunkcyjno normalna (CNF)

11.10.2024: Rachunek Zdań - III

1. Pojęcie dowodliwości ($\mathcal{P}\models\phi$)
2. Podstawowe reguły dowodzenia
3. Klauzule Horna i zdania Horna
4. Problem spełnialności.
5. Spełnialność zdań Horna.

15.10.2024: Metody dowodzenia twierdzeń i Zbiory

1. Przegląd metod dowodzenia twierdzeń
2. Aksjomat Ekstensjonalości
3. Jedyność zbioru pustego
4. Suma i przekrój zbiorów
5. Twierdzenie Russel'a: nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów.

18.10.2024: Zbiory - I

1. Podstawowe operacje: $\cup, \cap,\setminus$
2. Zawieranie zbiorów
3. Sprowadzenie zagadnień rachunku zbiorów do rachunku zdań
4. Diagramy Venna

22.10.2024: Zbiory - II

1. Skladowe rodzin zbiorów
2. Para uporządkowana: $(x,y) = \{\{x\},\{x,y\}\}$ (definicja Kuratowskiego)
3. Tw. $(x,y)=(a,b) \IFF (x=a)\land(y=b)$
4. Iloczyn kartezjański zbiorów.

25.10.2024: Zbiory - III

1. Tw. $A\times(B\cup C) = (A\times B) \cup $(A\times C)$
2. Pojęcie funkcji logicznej jednej zmiennej.
3. Kwantyfikatory $\forall$ i $\exists$
4. Podstawowe własności kwantyfikatorów.

29.10.2024: Kwantyfikatory

1. Kwantyfikatory ograniczone
2. Funkcje zdaniowe wielu zmiennych.
3. Interpretacja wyrażeń $(\forall x)(\forall y)\phi(x,y)$, $(\forall x)(\exists y)\phi(x,y)$, $(\exists x)(\forall y)\phi(x,y)$ i $(\exists x)(\exists y)\phi(x,y)$
4. Podstawowe własności.
5. Determinacja gier skończonych.

05.11.2024: Relacje

1. Działania uogólnione
2. Pojęcie relacji, dziedzina, obraz
3. Tw. $(R\circ S)^{-1} = S^{-1}\circ R^{-1}$
4. Tw. $(R\circ S)\circ T = R\circ (S\circ T)$.
5. $R[A] = ...$

08.11.2024: Funkcje

1. Definicja funkcji.
2. Tw. Złożnie funkcji jest funkcją.
3. Definicja injekcji i surjekcji
4. Tw. Złożenie injekcji jest injekcją.
5. Tw. Złożenie surjekcji jest surjekcją.
6. Definicja bijekcji.
7. Tw. Złożenie bijekcji jest bijekcją.
8. Tw. Niech $f$ będzie funkcją. Wtedy ($f^{-1}$ jes funkcją) $\IFF$ ($f$ jest injekcją).
9. Def. $|A|=|B| \IFF ...$
10. Def. $|A| = n \IFF$

12.11.2024 - 10.01.2025

14.01.2025: Wstęp do Teorii Kategorii

1. Precyzyjna definicja kategorii SET: obiekty = zbiory; morfizmy wszystkie trójki $(A,f,B)$ takie, że $f:A\to B$.
2. Pojęcie izomorfizmu obiektow w kategorii.
3. Tw. Jeśli $f^{-1}$ istnieje, to jest wyznaczone jednoznacznie.
4. Pojęcie obiektów końcowych i początkowych w kategorii. Twierdzenie o izomorfiżmie obiektów początkowych i końcowych.
5. Konstrukcja kategorii dualnej.
6. Własności funkcyjne iloczynu kartezjańskiego w kategorii SET.
7. Pojęcie produktu obiektów w dowolnej kategorii oraz jednoznaczność tego pojęcia z dokładnością do izomorfizmu.
8. Pojęcie coproduktu obiektów w dowolnej kategorii oraz jednoznaczność tego pojęcia z dokładnością do izomorfizmu.
9. Coproduct w kategorii SET: $A \sqcup B = (\{0\}\times A) \cup (\{1\}\times B)$ (suma rozłączna)

17.01.2025: Funktory

1. Zastosowania sumy rozłącznej typów w językach programowania.
2. Pojęcie funktora między kategoriami. Pojęcie endofunktora.
3. Przykłady endofunktorów kategorii SET:
   1. funktor tworzenia list: $L(X) = \{[x_1,\ldots,x_n], n\in\NN \land x_1,\ldots,x_n \in X\}$;
      $L(f)([x_1,\ldots,x_n]) = [f(x_1),\ldots,f(x_n)]$
      funkcja map w języku Python
   2. zbiór potęgowy: $\mathcal{P}(X) = P(X)$; $\mathcal{f}(U) = f[U]$
   3. funktor par: $P_2(X) = X\times X$; $P_2(f) ((x,y)) = (f(x),f(y))$
   4. funktor Reader z parametrem $A$: $R_A(X) = X^A$; $R_A(f)(\phi) = f\circ\phi$
   5. functor Writer z parametrem $M$: $W_M(X) = X\times M$; $W_M(f)((x,m)) = (f(x),m)$
   6. functor Maybe: $MB(X) = X \cup \{\uparrow_X\}$; $MB(f)(x) = \begin{cases} x &: x\in X\\ \uparrow_Y &: x = \uparrow_X\end{cases}$.
4. Wykorzystanie funktora MayBe do obsługi wyjątków w językach programowania.

21.01.2025: Funktory - II

1. Tw. Złożenie funktorów jest funktorem.
2. Przykład. Jeśli $(X,\preceq)$ i $(Y,\leq)$ są częściowymi porządkami i $F:X\to Y$, to następujące zdania są rownoważne
   1. $F$ jest funktorem z $\mathcal{C}(X\preceq)$ do $\mathcal{C}(Y,\leq)$
   2. $(\forall x,y\in X)(x\preceq y \to F(x)\leq F(y))$
3. Pojęcie funktora kowariantnego i kontrawariantnego
4. Tw. $F$ jest funktorem z $\mathcal{C}$ do $\mathcal{D}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $F$ jest funktorem z $\mathcal{C}^{op}$ do $\mathcal{D}^{op}$.
5. Wniosek: Ustalmy zbiór $A$. Rozważamy funktor kontrawariantny $F_A(X) = A^{X}$.
   Wtedy złożenie $F_A\circ F_A$ jest funktorem.

24.01.2025: Naturalne transformacje

1. Pojęcie naturalnej transformacji funktorów.
2. Przykłady
3. Funkcje polimorficzne
4. Lambda wyrażenia.
5. Zaczęliśmy wyznaczać naturalne transformacje między funktorami $I(X)=X$ oraz $P_2(X) = X\times X$.

28.01.2025: Lemat Yonedy

1. Kategoria funktorów. Niech $\mathcal{C}$ i $\mathcal{D}$ będą kategoriami. Przez $[\mathcal{C},\mathcal{D}]$ oznaczamy kategorię której obiektami są wszystkie funktory z $\mathcal{C}$ do $\mathcal{D}$ a morfizmami są naturalne transformacje.
2. Funktor hom: Niech $\mathcal{C}$ będzie dowolną lokalnie małą kategorią. Niech $A$ będzie obiektem $\mathcal{C}$. Określamy:
   (1) $\mathrm{hom}_A(X) = $ zbiór morfizmów kategorii $\mathcal{C}$ z $A$ do $X$;
   (2) $\mathrm{hom}_A(f) = (\lambda \phi \to f\circ \phi)$ dla $f:X\to Y$ w $\mathcal{C}$.
   Wtedy $\mathrm{hom}_A$ jest funktorem z $\mathcal{C}$ w kategorię SET$.
3. Tw. (Lemat Yonedy) Niech $\mathcal{C}$ będzie dowolną lokalnie małą kategorią. Niech $A$ będzie obiektem $\mathcal{C}$. Niech $F$ będzie funktorem z $\mathcal{C}$ do kategorii SET. Wtedy $$ \mathrm{Nat}(\mathrm{hom}_A,F) \cong F[A] $$