Katedra Informatyki
WPPT, Politechnika Wrocławska

Aplety

Liczby zespolone

Tutaj znajdują się trzy interaktywne diagramy na których możesz przetestować podstawowe operacje arytmetyczne dla liczb zespolonych: dodawanie, mnożenie oraz wyciąganie pierwiastków.

Dodawanie liczb zespolonych

Oto wzór na dodawanie liczb zespolonych zapisanych w postaci algebraicznej:$$(a_1 + i \cdot b_1) + (a_2 + i \cdot b_2) = (a_1+a_2) + i \cdot (b_1+b_2)~,$$ gdzie $a_1,a_2, b_1, b_2 \in \mathbb{R}$ oraz $i$ oznacza jednostę urojoną.

Mnożenie liczb zespolonych

Oto wzór na mnożenie liczb zespolonych zapisanych w postaci algebraicznej: $$(a_1 + i \cdot b_1) \cdot (a_2 + i \cdot b_2) = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_1) + i \cdot (a_1\cdot b_2 +a_2 \cdot b_1)~.$$ Mnożenie liczb zespolonych zapisanych w postaci trygonometrycznej wyraża się formułą: $$ \left(\rho_1(\cos(\phi) + i \cdot \sin(\phi)) \right) \cdot \left(\rho_1(\cos(\psi) + i \cdot \sin(\psi)) \right) = $$ $$ (\rho_1\cdot\rho_2)(\cos(\phi+\psi) + i \cdot \sin(\phi+\psi)) ~. $$

Pierwiastki liczby zespolonej

Pierwiastkiem n-tego stopnia z liczby zespolonej $z$ nazywamy każdą taką liczbę zespoloną $u$, że $u^n=z$. Jeli $n$ jest liczba naturalną oraz $z$ jest liczbą zespoloną różną od zera, to istnieje dokładnie $n$ różnych pierwiastków z liczby $z$ stopnia $n$. Możesz to przetestować na poniższym diagramie:

Zmień samodzielnie położenie czerwonego punktu Z. Pierwiastki liczby Z zaznaczone są niebieskimi kwadratami. Spróbuj ustawić punkt $Z$ na $1+i\cdot 0$ i zmieniaj stopień pierwiastka.