A. Za pomocą metody rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste wyprowadzić można nastepujący wzór: $$ \frac{1 + a x + b x^2}{1 - x^2} = -b + \frac12 \left( \frac{1 + b + a}{1-x} + \frac{1 + b - a}{1 + x} \right) ~. $$ Jego poprawność łatwo można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem - sprowadź "prawą stronę" do "wspólnego mianownika". Ze wzoru tego wynika, że

1. funkcja y = -b jest asymptotą poziomą rozważanej funkcji;
2. jeśli $1+b+a = 0$, to w punkcie $x=1$ rozważana funkcja ma osobliwość usuwalną;
3. jeśli $1+b-a = 0$, to w punkcie $x=-1$ rozważana funkcja ma osobliwość usuwalną;
4. jeśli jednocześnie $1+b+a = 0$ oraz $1+b-a = 0$, co się dzieje w przypadku $a=0$ oraz $b = -1$, to funkcja $f$ ma osobliwości usuwalne w punktach $x=-1$ i $x=1$ i na całej swojej dziedzinie jest funkcją stałą, przyjmującą wartość 1.

B. Ze wzoru $$ \left( \frac{1+ax+bx^2}{1-x^2} \right)' = \frac{a+2(1+b)x+ax^2}{(1-x^2)^2} $$ łatwo wynika - zauważ, że licznik pochodnej jest funkcją kwadratową a mianownik jest nieujemny - że jeśli $|b+1| \gt |a| \gt 0$ to rozważana funkcja ma dwa ekstrema lokalne.