Na stronie tej możesz prześledzić główne kroki badania przebiegu zmienności funkcji $f$
zmiennej rzeczywistej $x$ zadanej wzorem
$$
f(x) = \frac{b\cdot x^2 + a \cdot x + 1}{1-x^2}
$$
dla różnych wartości parametrów $a, b \in [-3,3]$.
Ustal najpierw parametry $a$ oraz $b$ a potem naciśnij przycisk "Przelicz".
Uwaga: wszystkie wartości liczbowe wyświetlane są z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku.
Zwróć uwagę na przypadki, gdy $a+b=-1$ oraz $-a+b=-1$.
Analiza
Badana funkcja jest określona wzorem:
Jest to funkcja wymierna,
gdyż jej licznik i mianownik są wielomianami zmiennej $x$.
Jest więc ona różniczkowalna we wszystkich punktach swojej dziedziny.
Dziedzina funkcji
Dziedziną rozważanej funkcji jest zbiór $\mathbb{R} \setminus\{-1,1\}$, czyli
funkcja $f$ jest określona na zbiorze $(-\infty,-1) \cup (-1,1) \cup (1,\infty)$.
Wykres funkcji oraz jej pochodnej
Na poniższym wykresie znajduje się wykres badanej funkcji narysowany czarną linią.
Asymptoty tej funkcji zaznaczone są niebieską przerywaną linią.
Czerwoną linią narysowany jest wykres pochodnej funkcji $f$.
Sprawdź samodzielnie powyższe obliczenia.
Wszystkie wyniki liczbowe na tej stronie podawane są
z dokładnością do dwóch liczb po przecinku, a w większości przypadków bez trudu uzyskać możesz znacznie wiekszą
dokładność.
A.
Za pomocą metody rozkładu funkcji wymiernej na ułamki proste wyprowadzić można nastepujący wzór:
$$
\frac{1 + a x + b x^2}{1 - x^2} = -b + \frac12 \left( \frac{1 + b + a}{1-x} + \frac{1 + b - a}{1 + x} \right) ~.
$$
Jego poprawność łatwo można sprawdzić bezpośrednim rachunkiem -
sprowadź "prawą stronę" do "wspólnego mianownika".
Ze wzoru tego wynika, że
funkcja y = -b jest asymptotą poziomą rozważanej funkcji;
jeśli $1+b+a = 0$, to w punkcie $x=1$ rozważana funkcja ma osobliwość usuwalną;
jeśli $1+b-a = 0$, to w punkcie $x=-1$ rozważana funkcja ma osobliwość usuwalną;
jeśli jednocześnie $1+b+a = 0$ oraz $1+b-a = 0$, co się dzieje w przypadku $a=0$ oraz $b = -1$,
to funkcja $f$ ma osobliwości usuwalne w punktach $x=-1$ i $x=1$ i na całej swojej dziedzinie
jest funkcją stałą, przyjmującą wartość 1.
B.
Ze wzoru
$$
\left( \frac{1+ax+bx^2}{1-x^2} \right)' = \frac{a+2(1+b)x+ax^2}{(1-x^2)^2}
$$
łatwo wynika - zauważ, że licznik pochodnej jest funkcją kwadratową a mianownik jest nieujemny -
że jeśli $|b+1| \gt |a| \gt 0$ to rozważana funkcja ma dwa ekstrema lokalne.
